§ 2. СЛУЧАЙ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Обратимся теперь к изложению приемов преобразования дифференциальных выражений в случае двух независимых переменных.

Пусть дано выражение

построенное из констант, независимых переменных х и у, их функции и ее производных, определенных в какой-нибудь области плоскости

Так же как и раньше, рассмотрим преобразование выражения (3.8) отдельно при замене только независимых переменных при замене только функции и при замене как независимых переменных х и у, так и их функции

71. Замена независимых переменных.

Пусть вводятся новые независимые переменные а и связанные с данными независимыми переменными х и у зависимостями, которые мы предполагаем разрешенными относительно

причем функции являются непрерывными вместе со всеми своими производными до требуемого порядка; кроме того

Равенства (3.9) называются формулами преобразования или замены переменных. Задача состоит в том, чтобы подставить в выражение (3.8) вместо х и у соответственно функции и найти новое выражение, уже теперь через переменные и и для величины Для этого нужно знать, как выражаются через аргументы функции Ясно, что

дальше для решения поставленной задачи нужно, очевидно, выразить содержащиеся в равенстве (3.8) производные от функции по и по у через производные по от новой функции и данных функций

В силу известных правил дифференцирования имеем:

находящиеся здесь производные должны быть заменены их выражениями через переменные и и которые можно найти из решения уравнений, полученных после дифференцирования по и по у формул преобразования (3.9):

Отсюда находим:

Подставляя в равенства получаем:

Далее:

причем производные заменяются в соответствии с формулами и т. д.

Порядок действий можно принять несколько иным, а именно можно, находя вторые производные от по и дифференцировать не окончательные выражения (3.10) дляч и через , а промежуточные заменяя затем производные от и и по х и у их выражениям через и и по формулам При этом будем иметь:

Точно так же можно находить и высшие производные. Подставляя в формулу (3.8) данные и найденные выражения для мы и получим искомое новое выражение для

Остановимся специально на случае, когда и и — полярные координаты. Тогда в соответствии с формулами (3.10),

а также будем иметь:

(см. скан)

Зависимости между «старыми» переменными и «новыми» переменными т. е. формулы преобразования (3.9) могут быть интерпретированы либо как формулы, отображающие данную область плоскости в некоторую область А плоскости либо как формулы преобразования координат в области декартовых прямоугольных координат

к криволинейным координатам . В первой из этих интерпретаций указанное преобразование выражения F (см. (3.8)) означает построение такого выражения что его значение в какой-нибудь точке области равно значению заданного выражения в соответствующей точке области во второй интерпретации указанное преобразование означает построение такого выражения что его значение в каждой точке Р области в другой заданной системе криволинейных координат равно значению исходного выражения в той же точке Р.

Если зависимости между разрешены относительно и и то производные находятся сразу прямым дифференцированием этих зависимостей по и по у. В окончательных формулах нужно только х и у выразить через

Нет никакой необходимости запоминать найденные выражения для последовательных частных производных; в каждом конкретном случае преобразований следует осуществить те операции, которые были здесь продемонстрированы в общем виде.

Пример 1. Пусть

Преобразуем к полярным координатам и и значит, Воспользовавшись готовыми формулами (3.13), получаем:

Нельзя не обратить внимания на значительное упрощение выражения для Дифференциальное уравнение при этом сводится к весьма простому соотношению:

выражающему тот что не зависит от т. е. что , где Ф — произвольная дифференцируемая функция. Итак, уравнение

имеет такое решение:

т. е. интегральной поверхностью уравнения является любая по верхность вращения, осью которой служит ось

К этому же выводу мы придем, если преобразуем к другим независимым переменным и связанным с х и у, так:

Действительно,

(пока не будем здесь заменять х и у через Подставляя находим:

Но если то , следовательно, где — произвольная дифференцируемая функция. Мы поручили то же самое решение, что и раньше.

Пример 2. Пусть

Преобразуем к новым независимым переменным при условии, что

Здесь легко обратить формулы преобразования:

Имеем:

Подставляя находим:

Мы видим, насколько упростилось заданное выражение. Если нужно решить дифференциальное уравнение

то выполненное преобразование позволяет заменить его весьма простым уравнением:

Этому уравнению удовлетворяет любая дифференцируемая функция , а, значит, исходному уравнению — функция

Пример 3. Пусть

Преобразуем к новым независимым переменным при условии, что

где — постоянные и якобиан системы отличен от нуля:

Имеем:

Подставляя в выражение и приводя подобные члены, получим:

где новые коэффициенты имеют значения:

Итак, мы видим, что любое (невырожденное) аффинное, отображение плоскости в плоскость не изменяет общего вида

ваданного, линейного относительно функции и её производных выражения. Но уже сейчас следует заметить, что большой свободой выбора четырех постоянных параметров а аффинного отображения стараются так воспользоваться, чтобы преобразованное выражение было бы как можно проще (см. теорию дифференциальных уравнений математической физики).