67. Цилиндрические координаты.

Всякая система криволинейных ортогональных координат на плоскости может служить основанием для системы криволинейных ортогональных координат в пространстве. Можно, например, в качестве координат точки в пространстве принять соответствующие криволинейные координаты и и проекции этой точки на плоскость и в качестве координаты ее аппликату Таким образом, система соотношений, задающая криволинейные координаты в пространстве, будет иметь вид:

где первые два соотношения

определяют систему криволинейных (ортогональных) координат на плоскости Координатными поверхностями системы, очевидно, будут плоскости, параллельные плоскости и цилиндрические поверхности, образующие которых параллельны оси а направляющими служат координатные линии системы Такая

пространственная система координат ортогональна; это совершенно ясно из геометрических соображений и очень просто может быть проверено аналитически (по условиям (2.21) при наличии условий (2.5)).

Для коэффициентов Ламе системы (2.54) будем иметь: , где — коэффициенты Ламе системы (2.540 и, значит,

где — длина дуги, являющейся проекцией на плоскость элемента пространственной дуги с длиной — площадь области, являющейся проекцией на плоскость элемента пространственной области с объемом

В частности, если в качестве системы (2.54) взять систему полярных координат, то мы получим пространственную систему координат (2.38), которая обычно и называется просто цилиндрической (см. Если же в качестве системы (2.54) брать другие системы криволинейных координат на плоскости, то соответствующие системы пространственных координат (2.54) можно было бы называть цилиндрическими с добавлением названия плоской системы: цилиндро-эллиптическими, цилиндро-параболическими, цилиндро-биполярными.