69. Замена функции.
Пусть теперь независимая переменная остается прежней, а функция у заменяется новой переменной, связанной с у зависимостью, которую мы также предполагаем разрешенной относительно заданной переменной у:
причем и функция 
и функция 
являются непрерывными вместе со всеми своими производными до требуемого порядка.
Равенство (3.4) называется также формулой преобразования или замены переменной. Замена переменной в выражении (3.1) для V в соответствии с формулой (3.4) принципиально не отличается от предыдущего случая, ибо мы можем считать в выражении (3.1) у в качестве независимой переменной, а 
в качестве функции. Но, конечно, проще преобразование осуществить непосредственно, исходя из формулы преобразования (3.4). Действительно, мы имеем:
и т. д. Подставляя в формулу (3.1) данные и найденные выражения, мы и получим искомое новое выражение для V:
В преобразовании (3.4) возможны два случая: 
— известная функция от новой функции 
— новая функция аргумента 
— известной функции независимой переменной 
Пример 6. Пусть
Преобразуем V к новой функции 
при условии, что
Имеем:
Подставляя, находим:
Например, при решении уравнения 
можно воспользоваться этим преобразованием и таким образом сразу привести вопрос к решению известного уравнения. В результате находим:
Этот пример иллюстрирует первый случай. Рассмотрим теперь пример, иллюстрирующий второй случай.
Пример 7. Пусть
Преобразуем V к новой функции 
при условии, что
Имеем:
Подставляя, находим:
или
если положить 
Заметим, что второй случай является фактически просто случаем замены независимой переменной.
