ГЛАВА I. ОТОБРАЖЕНИЯ. ЯКОБИАН

§ 1. ОТОБРАЖЕНИЯ В ЛИНЕЙНОМ СЛУЧАЕ

1. Определения. Аффинные отображения.

Рассмотрим функцию

одной независимой переменной Допустим, что она определена, однозначна и непрерывна в некотором интервале I изменения переменной (этим интервалом может быть вся ось а также какая-нибудь ее полуось). Каждой точке интервала оси функция ставит в соответствие единственную (вследствие однозначности функции точку оси координата этой точки находится из равенства (1.1) по координате точки Р (черт. 1). Если не константа, то множеству всех точек Р интервала I на оси соответствует множество всех точек некоторого интервала X на оси Действительно, так как функция непрерывна, то она в данном

Черт. 1.

интервале принимает все значения, заключенные между любыми двумя ее значениями (I, 37), и следовательно, точки изображающие значения функции, заполняют без пустот некоторый интервал на оси

Определение. Точка изображающая на оси значение функции соответствующая точке на оси называется отображением (или образом) точки Р, а точка Р—оригиналом (или прообразом) точки Интервал — множество точек соответствующих всем точкам Р интервала , называется отображением (или образом) интервала оси на оси а интервал — оригиналом (или прообразом) интервала X.

О функции говорят, что она отображает или преобразует точку Р (интервал в точку (интервал X).

Таким образом, под термином отображение понимают как сам интервал X, т. е. образ данного интервала так и операцию перехода от интервала к интервалу X. Если функция (1.1) рассматривается с точки зрения осуществляемого ею отображения, то она иногда называется просто отображением; например, можно сказать: «возьмем отображение

Отображение где -однозначная и непрерывная функция, называется однозначным и непрерывным. При непрерывном отображении бесконечно близкие точки из интервала I переходят в бесконечно близкие же точки интервала X.

Указание только интервала и его образа — интервала X ни в коей мере еще не устанавливает отображения, т. е. еще не определяет функции Каковы бы ни были интервалы и X, всегда имеется бесчисленная совокупность различных функций, непрерывно отображающих интервал I в интервал X. Эта совокупность содержит, например, линейные функции. Так, линейная функция

непрерывна отображает интервал в интервал причем

если

и

если

В первом случае функция (1.2) возрастающая и точка непрерывно пробегает слева направо интервал когда прообраз-точка непрерывно пробегает также слева направо интервал во втором случае функция (1.2) убывающая и точка непрерывно пробегает справа налево интервал когда прообраз-точка непрерывно пробегает слева направо интервал

Отображения, определяемые линейными функциями (1.2), называются аффинными. Это — простейшие отображения.

Черт. 2.