Начиная с настоящего параграфа, иы будем в дальнейшем рассматривать только бесконечно малые перемешения. Их теория входит в известной мере в теорию конечных перемещений, но она проще в том отношении, что результат нескольких последозательных бесконечно малых перемещений может быть получен простым сложением перемещений безразлично в каком порядке. Это есть следствие общего принципа наложения малых вариаций.

Бесконечно малое вращение определено, когда известны ось, угол вращения и, конечно, определено направление последнего. Вращение, следовательно, может быть изображено отрезком $\mathrm{AB}^{1}$ ), взятым вдоль оси вращения с длиною, пропорциональной в некотором масштабе углу ${ }^{2}$ ). При этом направление от $A$ к $B$ выбрано с таким расчетом, чтобы вращение в отношении к этому направлению оси было правовинтовым (§ 3).
Точное положение отрезка $A B$ на оси вращения не существенно. Удобство такого условного изображения заключается в том, что \”вращение, так же как и силы в статике, обладает свойствами скользящего вектора. В частности сложение вращений вокруг пересекающихся осей может быть сведено к сложению соответствующих векторов (фиг. 11).
Чтобы в этом убедиться, заметим, что перемещение точки $O$ благодаря вращению $A B$ нормально к плоскости $O A B$ и равно $A B \cdot O M$, где $O M$ есть перпендикуляр, опущенный из $O$ на отрезок $A B$. На приложенном чертеже (фиг. 11) перемещение будет происходить в направлении к читателю или от читателя и может рассматриваться положительным или отрицательным в зависимости от того, где находится точка $O$, налево или направо от $\mathrm{AB}^{8}$ ). Таким образом перемещение точки $O$ по
1) Прямон латинский шрифт употребляется для отличения вектора $\mathrm{AB}$ от длины $A B$.
2) Так, мы можем представить угоп в виде $\varepsilon \cdot A B$ с бесконечно маяым $\varepsilon$ размерности, обратной длине. Множитель в мы, однако, в дальнейшем опускаем.
3) Если смотреть в сторону, куда направлено движение точки $O$. (Прим. nepes)

величине и знаку определяется по тем же правилам, как и момент силы $A B$ относительно $O$ в статике на плоскости. Из этого следует, что результат двух бесконечно малых вращений твердого тела, изображенных векторами $\mathrm{AB}$ и $\mathrm{BC}$, (фиг. 12), будет сводиться к бесконечно малому вращению $\mathrm{AD}$, равному геометрической сумме $\mathrm{AB}$ и $\mathrm{AC}$. Из теоремы Вариньона о моментах мы можем, деиствительно, вывести справедливость теоремы для перемещений всех точек плоскости $A B C$, а положение трех произвольных точек подобного рода, не лежащих на одной прямой, определяет новое положение тела после перемещения.

Таким образом в отношении математических соотношений существует полная аналогия между бесконечно малыми вращениями, с одной стороны, и силами в статике, с другой. Вращение, как и сила, связывается
Фиг. 12.
Фиг. 13.

с определенной прямой, но не имеет никакой связи с какой-либо отдльной точкой этой прямой. Вращение может иметь обратное направление. Равные по величине и обратные по направлению вращения около одной и той же прямой взаимно уничтожаются. Сверх того, вращения около пересекающихся осей складываются по закону сложения векторов.

Так как предпосылки теории векторов представляют собою в сущности единственное основание, на котором построена статика, то мы можем заключить отсюда, что все теоремы и выводы статики имеют точную аналогию в кинематической теории бесконечно малых перемещений твердого тела, и обратно. Теорема, установленная в одном из этих отделов механики, может быть тотчас же переведена на язык другого отдела и будет справедлива в применении к объектам последнего.

Например, из известных правил сложения параллельных сил мы можем вывести заключение о результате нескольких вращений вокруг параллельных осей. Обычное доказательство, принятое в статике, может быть в точности воспғоизведено и здесь.

Можно дать также и прямое доказательство. Так, предположим, что мы имеем два бесконечно малых вращения $p$ и $q$ (считаемых положительными при правой системе) около параллельных осей $A A^{\prime}$ и $B B^{\prime}$. Из любой точки $O$ в плоскости этих осей проведем перпендикуляр $O A B$. Результирующее перемещение точки, находящейся в положении $O$, будет нормально к плоскости фигуры и равно по величине $p \cdot O A+q \cdot O B$, причем отрезкам $O A$ и $O B$ следует приписать знак, соответствующий их направлению. Если на прямой $A B$ мы возьмем точку $C$ такую, чтобы удовлетворялось следующее векторное равенство
\[
p \cdot \mathrm{CA}+q \cdot \mathrm{CB}=0,
\]

то мы получим:
\[
p \cdot \mathrm{OA}+q \cdot \mathrm{OB}=p(\mathrm{OC}+\mathrm{CA})+q(\mathrm{OC}+\mathrm{CB})=(p+q) \mathrm{OC} .
\]

Перемещение точки $O$ является таким, каким оно получилось бы благодаря вращению $p+q$ вокруг параллельной оси, проходящей через $C^{1}$ ).

Особый случай мы имеем, как и в статике, когда $p+q=0$. Мы имеем тогда:
\[
p \cdot O A+q \cdot O B=p(O A-O B)=p \cdot B A,
\]
т. е. перемещение не зависит от положения точки $O$ в плоскости. Следовательно вращения, равные по величине, но с обратными направлениями вокруг параллельных осей, равносильны поступательному перемещению в направлении, нормальном к плоскссти ссей, на расстояние, равное произведению одного из вращений на расстояню между осями.

Направление поступательного движения определится, если мы выберем точку $O$ на одной из осей вращения. Мы находим, таким образом, в качестве частного примера той аналогии, о которой мы упоминали, что поступательное перемещение соответствует паре сил в статике, а расстояние перемещения моменту пары.