Интересное приложение изложенной теории можно сделать при объяснении опытов, придуманных Фуко ${ }^{2}$ ) для механического доказательства вращения Земли при помощи быстро вращающегося гироскопа ${ }^{3}$ ).
1) Ряд стереоскопических и других диаграмм для траекторий полюса приводится у Грннхила (Greenhili, Proc. Lond. Math. Society, т. XXVII и Report on Gyroscope Theory, Лондон 1914). В случаях, рассмотренных в указанных работах, условия выбражы так, что кризые получаются замкнутыми.
2) L. Foucault (1819-1868) известен своими экспериментальными работами по оптике (прямое измерение скорости распространения света и пр.).
3) Термин ,гироскоп\” (жироскоп’) был, повидимому, придуман фуко в связи с указанными опытами, как комбинация двух понятий: „ращение (т. е. Земли) и ,смотреть“. Этот термин стал употребляться для всех приборов, в которых играет главную роль вращевие махового колеса. Обозначение ,гиростат“ впервые введено Кельвином для системы со скрытым маховиком, но стало затем употребляться в том же расширенмом смысле, как и гироскоп.

Если бы реакции связи и трение отсутствовали, то ось махового колеса (или вернее ось момента количеств движения) сохраняла бы свое положение в пространстве. Относительно же Земли происходило бы постоянное смещение по долготе в направлении к западу. Это и пытался обнаружить Фуко в одном из своих опытов.

С другой стороны, если ось махового колеса принуждена двигаться только в одной плоскости, то она будет стремиться приблизиться, насколько это возможно, к направлению полярной оси Земли, считая направление последней в зависимости от положительного смысла вращения.

Предположим, что ось колеса может перемещаться только в плоскости меридиана. Это можно осуцествить, например, зажимая вертикальный круг в плоскости, расположенной в направлении с востока на запад.

На приложенном изображении (фиг. 50) сферы единичного радиуса точка $P$ обозначает северный полюс Земли, $C$ – полюс махового колеса, $A$ точку запада на горизонте. Пусть ю-угловая скорость Земли, $\theta$ угол POC. Обозначая через $O$ центр сферы, мы видим, что скорость точки $C$ слагается из $\dot{\theta}$ вдоль дуги $P C$ и $\sin \theta$ параллельно $O A$. Обозначим, как обычно, главные центральные моменты инерции махового колеса через $A, A, C$, а его угловую скорость через $n$. Составляющие
Первая составляющая уничтожается реакцией связи. Рассмотрение второй составляющей приводит к уравнению
\[
A \ddot{\theta}=-C n \sin \theta+L,
\]

где $L$ обозначает момент пары сил, с. которыми действуют на ось колеса подшипники в кольце, несущем колесо.
Для движения этого кольца вокруг его диаметра, лежащего в направлении с востока на запад, мы имеем уравнение
\[
A_{1} \ddot{\theta}=-L,
\]

где $A_{1}$ – соответствующий момент инерции; откуда, полагая
\[
I=A+A_{1},
\]

находим:
\[
\ddot{i \theta}+C n \sin \theta=0 \text {. }
\]

Имеется два положения видимого равновесия $\theta=0$ и $\theta=\pi$. Если вращение $n$ положительное, т. е. правое относительно $O C$, то первое положение устойчнвое, а второе неустойчивое. Период малого колебания -коло положения устоиччивого равновесия равен:
\[
2 \pi \sqrt{\frac{I}{C n \omega}} .
\]

Надо отметить, что́ при выводе уравнения (1) мы приняли $\ddot{\theta}$ за ускоренне точки $C$ вдоль меридиана, считая последний неподвижным. Так как в действительности меридиан медленно вращается вокруг $O P$, то это не совсем точно, но нетрудно видеть, что возникающая отсюда погрешность будет порядка $\omega^{2}$. С практической точки зрения ею вполне можно пренебречь.

В „барогироскопе“ Джильберта кольцо (или рама), поддерживающее маховое колесо, снабжено небольшим грузом, так что при отсутствии вращения ось колеса занимает всегда вертикальное положение. Результатом вращения является, таким образом, отклонение $\chi$ к северу. Вместо уравнёния (3) мы теперь имеем:
\[
l \ddot{\theta}+C n \omega \sin \theta=M g h \sin \gamma,
\]

где $M$ – масса рамы, а $h$ – небольшое расстояние, на которое ее центр тяжести помещен ниже прямой, соединяющей опоры рамы. Так как, обозначая широту через $\lambda$, мы имеем: $\theta+\chi=\frac{\pi}{2}-\lambda$, то видимое положение равновесия ( $\ddot{\theta}=0$ ), которое мы наблюдаем, определяется уравнением:
\[
C n \omega \cos (\lambda+\gamma)=M g h \sin \chi,
\]

или
\[
\operatorname{tg} \chi=\frac{C n \omega \cos \lambda}{M g h+C n \omega \sin \lambda} .
\]

Несмотря на малую величину $h$, второй член в знаменателе оказался очень малым по сравнению с первым. При этих условиях ожидаемое отклонение тем значительнее, чем большая угловая скорость вращения $n$ и чем меньше расстояние $h$.

В другом опыте, предложенном фуко, ось колеса вынуждена передвигаться только в горизонтальной плоскости. На прилагаемом чертеже (фиг. 51) $Z$ обозначает зенит, а $X$ и $Y$ –
восточную и северную точки горизонта, и $P$ – северный полюс. Обозначая, наконец, через $\lambda$ широту $Y P$, мы можем разложить угловую скорость вращения Земли () на две составляющие: $\omega \cos \lambda$ вокруг $O Y$, и $\sin \lambda$ вокруг $O Z$. Следовательно, если $\rho$ – азимут оси махового нолеса $Y C$, то скорость точки $C$ будет слагаться из скорости $\omega \sin \lambda-\dot{\varphi}$ вдоль $X Y$ и $\omega \cos \lambda \sin \varphi$, параллельной $Z O^{1}$ ).

Таким образом гироскопическая сила, дећствующая вдоль $C Y$, равна $C$ ю $ю \cos \lambda \sin \varphi$, откуда и получаем уравнение:
\[
A \ddot{\varphi}+C n \cos \lambda \sin \varphi=N,
\]

где $N$ есть горизонтальный момент, с которым действует на ось колеса поддерживающее его кольцо.

Если $A_{1}$ есть момент инерции рамы относительно ее вертикальной оси, то мы имеем:
\[
A_{1} \ddot{\varphi}=-N
\]
1) Опять, как и выме, с точностью до количеств второго порядка относительно њ.

и, полагая
\[
A+A_{1}=I,
\]

найдем
\[
\ddot{\varphi}+C n \omega \cos \lambda \sin \varphi=0 \text {. }
\]

Полюс махового колеса стремится приблизиться (при положительном $n$ ) к северной точке горизонта и колеблется около нее с периодом, равным
\[
2 \pi \sqrt{\frac{I}{C n \cos \lambda}} .
\]