Интересное приложение изложенной теории можно сделать при объяснении опытов, придуманных Фуко ${}^2$ ) для механического доказательства вращения Земли при помощи быстро вращающегося гироскопа ${}^3$ ).
1) Ряд стереоскопических и других диаграмм для траекторий полюса приводится у Грннхила (Greenhili, Proc. Lond. Math. Society, т. XXVII и Report on Gyroscope Theory, Лондон 1914). В случаях, рассмотренных в указанных работах, условия выбражы так, что кризые получаются замкнутыми.
2) L. Foucault (1819-1868) известен своими экспериментальными работами по оптике (прямое измерение скорости распространения света и пр.).
3) Термин ,гироскоп\» (жироскоп’) был, повидимому, придуман фуко в связи с указанными опытами, как комбинация двух понятий: „ращение (т. е. Земли) и ,смотреть“. Этот термин стал употребляться для всех приборов, в которых играет главную роль вращевие махового колеса. Обозначение ,гиростат“ впервые введено Кельвином для системы со скрытым маховиком, но стало затем употребляться в том же расширенмом смысле, как и гироскоп.

Если бы реакции связи и трение отсутствовали, то ось махового колеса (или вернее ось момента количеств движения) сохраняла бы свое положение в пространстве. Относительно же Земли происходило бы постоянное смещение по долготе в направлении к западу. Это и пытался обнаружить Фуко в одном из своих опытов.

С другой стороны, если ось махового колеса принуждена двигаться только в одной плоскости, то она будет стремиться приблизиться, насколько это возможно, к направлению полярной оси Земли, считая направление последней в зависимости от положительного смысла вращения.

Предположим, что ось колеса может перемещаться только в плоскости меридиана. Это можно осуцествить, например, зажимая вертикальный круг в плоскости, расположенной в направлении с востока на запад.

На приложенном изображении (фиг. 50) сферы единичного радиуса точка $P$ обозначает северный полюс Земли, $C$ — полюс махового колеса, $A$ точку запада на горизонте. Пусть ю-угловая скорость Земли, $\theta$ угол POC. Обозначая через $O$ центр сферы, мы видим, что скорость точки $C$ слагается из $\dot{\theta }$ вдоль дуги $PC$ и $\sin \theta$ параллельно $OA$. Обозначим, как обычно, главные центральные моменты инерции махового колеса через $A,A,C$, а его угловую скорость через $n$. Составляющие
Первая составляющая уничтожается реакцией связи. Рассмотрение второй составляющей приводит к уравнению
$$A\ddot{\theta }=-Cn\sin \theta +L,$$

где $L$ обозначает момент пары сил, с. которыми действуют на ось колеса подшипники в кольце, несущем колесо.
Для движения этого кольца вокруг его диаметра, лежащего в направлении с востока на запад, мы имеем уравнение
$$A_1\ddot{\theta }=-L,$$

где $A_1$ — соответствующий момент инерции; откуда, полагая
$$I=A+A_1,$$

находим:
$$\ddot{i\theta }+Cn\sin \theta =0\text{. }$$

Имеется два положения видимого равновесия $\theta =0$ и $\theta =\pi$. Если вращение $n$ положительное, т. е. правое относительно $OC$, то первое положение устойчнвое, а второе неустойчивое. Период малого колебания -коло положения устоиччивого равновесия равен:
$$2\pi \sqrt{\frac{I}{Cn\omega }}.$$

Надо отметить, что́ при выводе уравнения (1) мы приняли $\ddot{\theta }$ за ускоренне точки $C$ вдоль меридиана, считая последний неподвижным. Так как в действительности меридиан медленно вращается вокруг $OP$, то это не совсем точно, но нетрудно видеть, что возникающая отсюда погрешность будет порядка ${\omega }^2$. С практической точки зрения ею вполне можно пренебречь.

В „барогироскопе“ Джильберта кольцо (или рама), поддерживающее маховое колесо, снабжено небольшим грузом, так что при отсутствии вращения ось колеса занимает всегда вертикальное положение. Результатом вращения является, таким образом, отклонение $\chi$ к северу. Вместо уравнёния (3) мы теперь имеем:
$$l\ddot{\theta }+Cn\omega \sin \theta =Mgh\sin \gamma ,$$

где $M$ — масса рамы, а $h$ — небольшое расстояние, на которое ее центр тяжести помещен ниже прямой, соединяющей опоры рамы. Так как, обозначая широту через $\lambda$, мы имеем: $\theta +\chi =\frac{\pi }{2}-\lambda$, то видимое положение равновесия ( $\ddot{\theta }=0$ ), которое мы наблюдаем, определяется уравнением:
$$Cn\omega \cos (\lambda +\gamma )=Mgh\sin \chi ,$$

или
$$\mathrm{tg}\chi =\frac{Cn\omega \cos \lambda }{Mgh+Cn\omega \sin \lambda }.$$

Несмотря на малую величину $h$, второй член в знаменателе оказался очень малым по сравнению с первым. При этих условиях ожидаемое отклонение тем значительнее, чем большая угловая скорость вращения $n$ и чем меньше расстояние $h$.

В другом опыте, предложенном фуко, ось колеса вынуждена передвигаться только в горизонтальной плоскости. На прилагаемом чертеже (фиг. 51) $Z$ обозначает зенит, а $X$ и $Y$ —
восточную и северную точки горизонта, и $P$ — северный полюс. Обозначая, наконец, через $\lambda$ широту $YP$, мы можем разложить угловую скорость вращения Земли () на две составляющие: $\omega \cos \lambda$ вокруг $OY$, и $\sin \lambda$ вокруг $OZ$. Следовательно, если $\rho$ — азимут оси махового нолеса $YC$, то скорость точки $C$ будет слагаться из скорости $\omega \sin \lambda -\dot{\phi }$ вдоль $XY$ и $\omega \cos \lambda \sin \phi$, параллельной $Z{O}^1$ ).

Таким образом гироскопическая сила, дећствующая вдоль $CY$, равна $C$ ю $ю\cos \lambda \sin \phi$, откуда и получаем уравнение:
$$A\ddot{\phi }+Cn\cos \lambda \sin \phi =N,$$

где $N$ есть горизонтальный момент, с которым действует на ось колеса поддерживающее его кольцо.

Если $A_1$ есть момент инерции рамы относительно ее вертикальной оси, то мы имеем:
$$A_1\ddot{\phi }=-N$$
1) Опять, как и выме, с точностью до количеств второго порядка относительно њ.

и, полагая
$$A+A_1=I,$$

найдем
$$\ddot{\phi }+Cn\omega \cos \lambda \sin \phi =0\text{. }$$

Полюс махового колеса стремится приблизиться (при положительном $n$ ) к северной точке горизонта и колеблется около нее с периодом, равным
$$2\pi \sqrt{\frac{I}{Cn\cos \lambda }}.$$