Общие уравнения движения для случая качения такого шара̃ по неподвижной шаровой поверхности могут быть получены следующим образом.

За нормальный мы примем случай, представленный на фиг. 56. При том же расположении подвижных осей, как и в предыдущем параграфе, обозначим составляющие скорости точки через $u$, $v$, w. Тогда
\[
\begin{array}{lll}
u=-b \dot{\theta}_{2} & v=-\sin \theta \dot{\psi}, & w=0, \\
p^{\prime}=-\sin \theta \dot{\psi}, & q^{\prime}=\dot{\theta}, & r^{\prime}=\cos \theta \dot{\psi},
\end{array}
\]

где $b$ означает расстояние точки $G$ от центра $O$ неподвижной шаровой поверхности.
Остальные кинематические соотношения имеют вид
\[
a p=b \sin \theta \dot{\dot{j}}, \quad a q=-b \dot{\hat{0}} .
\]

Составляющие количества движения будут:
\[
\begin{array}{lll}
\xi=M u, & \eta=M v, & \zeta=0 \\
\lambda=I p, & \mu=I q, &
u=I r .
\end{array}
\]

Закон количества движения [§ 63, (7)] выражается здесь уравнениями
\[
M\left(\frac{d u}{d t}-r^{\prime} v\right)=X+M g \sin \theta, M\left(\frac{d v}{d t}+r^{\prime} u\right)=Y,
\]

и еще одним уравнением, служащим только для определения нормальной реакции $Z$.

Третье уравнение для момента количеств движения дает $\frac{d r}{d t}=0$, откуда $r=n$, где $n$ – постоянная.
Остальные уравнения будут иметь вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d \lambda}{d t}-r^{\prime} \mu+q^{\prime
u}=Y a, \\
\frac{d \mu}{d t}-p^{\prime}
u+r^{\prime} \lambda=-X a .
\end{array}\right\}
\]

Если мы исключим $X$ и $Y$ из (6) и (7) и подставим значения $u, v, p, q, p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$ из (1), (2) и (3), то мы придем к следующим уравнениям:
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(1+\frac{k^{2}}{a^{2}}\right)(\theta-\sin \theta \cos \theta \dot{\psi})-\frac{k^{2}}{a b} n \dot{\psi} \sin \theta=-\frac{g}{b} \sin \theta, \\
\left(1+\frac{k^{2}}{a^{2}}\right) \frac{d}{d t}\left(\sin ^{2} \theta \dot{\psi}\right)+\frac{k^{2}}{a b} n \dot{\theta} \sin \theta=0,
\end{array}\right\}
\]

где
\[
k^{2}=\frac{I}{M} \text {. }
\]

Положив $k=0$, мы получим уравнения сферического маятника ( Динамика“, § 103).

У’словие для стационарности движения получится, если положить $\theta=$ const. $\dot{\psi}=$ const. Этот результат совпадает с полученным в $\$ 67$ (6), если положить $c=b \sin \theta$.

Если уравнения (8) умножить соответственно на $\dot{\theta}$ и $\dot{\psi}$ и сложить, то после интегрирования мы найдем уравнение:
\[
\frac{1}{2}\left(1+\frac{k^{2}}{a^{2}}\right)\left(\dot{\theta}^{2}+\sin ^{2} \theta \dot{\psi}^{2}\right)=\frac{g}{b} \cos \theta+\text { const. }
\]

в котором легко узнать уравнение энергии.
Второе из уравнений (8) интегрируется непосредственно, но следует заметить, что оно не выражает постоянство момента количеств движення около вертикальной оси, проходящей через точку $O$. Так как $Y$ не обращается в нуль, то в дећствительности этот момент количеств двнжения является переменным.

Случай качения шара по круговой цилиндрической поверхности проще. Проведем ось $z$ параллельно оси цилиндра, а оси $x, y$ как на фиг. 57. Тогда будем иметь:
\[
p^{\prime}=0, q^{\prime}=0, r^{\prime}=\dot{\theta} .
\]

Кинематические соотношения будут иметь вид:
\[
u=-a r=\dot{\theta}, \quad \dot{v}=0, \quad w=a p,
\]

где $b$ – означает расстояние точки $G$ ог оси цилиндра.
Предюожожим сперва, что кроме реакции ( $X, Y, Z$ ), деиствующ зй в точке соприкосновения, других внешних сия нет. Тогда уравнения движения сведутся к следующим:
\[
\begin{array}{c}
M \dot{u}=X, \quad M u \dot{\theta}=Y, \quad M \dot{w}^{2}=Z, \\
I(\dot{\boldsymbol{p}}-q \dot{\hat{0}})=-Z a, \quad l\left(\dot{q}+p^{\dot{\theta}}\right)=0, \quad \text { ir }=X a .
\end{array}
\]

Исключив $X$ и $r$, мы найдем $\dot{u}=0, \dot{r}=0$, откуда $\dot{\theta}=\omega$, где $\omega$ – постоянная величина. Далее, исключив $Z$ и $p$, получим:
\[
\left(I+M a^{2}\right) \dot{w}-I a \omega q=0 .
\]

Исключив $q$ из этого и второго из уравнений (13), а гакже приняв во внимание (11), мы найдем:
\[
\left(I+M a^{2}\right) \ddot{w}+I \omega^{2} w=0 .
\]

Следовательно, составляющая скорости точки $G$ вдоль оси цилиндра изменяется периодически, а именно – по закону
\[
\omega=F \cos (\sigma t+\varepsilon),
\]

где
\[
\sigma=\sqrt{\frac{I}{I+M a^{2}}} \cdot \omega .
\]

Полученное решение дополняется соотношениями:
\[
p=\frac{w}{a}, \quad q=\text { const. }-\frac{F_{\omega}}{a s} \sin (\sigma t+s), \quad r=-\frac{b}{a} \omega .
\]

Если действует сила тяжести, то в уравнениях (12) мы вместо $X$ должны написать $X-M g \sin \theta$, предполагая, что ось цилиндра горизонтальна. Исключив $X$, мы теперь получим:
\[
\ddot{\theta}=-\frac{M a^{2}}{I+\bar{M} a^{2}} \frac{g}{b} \sin \theta,
\]
т. е. получается точно такой же результат, как если бы движение было двумерным („Динамика“, § 63).

Уравнение (14) заменяется следующим:
\[
\left(I+M a^{2}\right) \dot{w}-I a \dot{\theta} q=0 .
\]

В случае незначительного возФиг. 57. мущения установившегося (стационарного) движения, когда шар катится по самой нижней образующей цилиндра, угол $\theta$ мал. Если при установившемся движении шар не имеет вращения около верскорости точки $G$, параллельная оси цилиндра, будет, следовательно, с большой степенью приближения постоянной. Если же имеется конечная скорость вращения $n$ около вертикальной оси, то приближенно будем иметь:
\[
w=\text { const. }+\frac{I a n}{I+M a^{2}} 6 .
\]

Следовательно, на закон движения центра шара в направлении оси цилиндра влияет небольшой периодический член.