Другие теоремы, относящиеся к моментам инерции, имеют уже чисто геометрический интерес. Однако несколько простых результатов мы отметим здесь.

Сумма произведений массы каждой материальной точки тела на квадрат ее расстояния $h$ от данной плоскости называется „квадратичным моментом\» относительно плоскости. (\»Статика“, § 70.) ”Если мы примем в качестве координатных осей главные оси инерции относительно точки $O$, то квадратичный момент относительно плоскости
\[
\lambda x+\mu y+
u z=0,
\]

где $(\lambda, \mu,
u)$ — направляющие косинусы нормали, будет равен
\[
\sum m(\lambda x+\mu y+
u z)^{2} .
\]

Это выражение приводится к виду:
\[
A^{\prime} \lambda^{2}+B^{\prime} \mu^{2}+C^{\prime}
u^{2},
\]

где
\[
A^{\prime}=\Sigma\left(m x^{2}\right), \quad B^{\prime}=\Sigma\left(m y^{2}\right), \quad C^{\prime}=\Sigma\left(m z^{2}\right) .
\]

Количества $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ суть квадратичные моменты относительно координатных птоскостей. Они связаны с главными моментами инерции соотношениями:
\[
B^{\prime}+C^{\prime}=A, \quad C^{\prime}+A^{\prime}=B, \quad A^{\prime}+B^{\prime}=C .
\]

Если далее мы положим
\[
A^{\prime}=M a^{2}, \quad B^{\prime}=M b^{2}, \quad C^{\prime}=M c^{2},
\]

где $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ — средние квадратичные расстояния точек от координатных плоскостей, то квадратичный момент относительно плоскости (1) будет равен:
\[
M\left(a^{2} \lambda^{2}+b^{2} \mu^{2}+c^{2}
u^{2}\right)=M \tilde{\omega}^{2},
\]

где $\tilde{\omega}$ есть длина перпендикуляра, опущенного из начала ксординат в направлении ( $\lambda, \mu,
u$ ) на соответствующую касательную плоскость к эллипсоиду
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \text {. }
\]

Следовательно, средний квадрат расстояний от диаметральной плоскости равен квадрату расстояния параллельной касательной плоскости от центра.