К теории нормальных колебаний и собственных частот можно подойти и другим путем. Для упрощения выводов мы предположим полную устойчивость, так что $V$ представляет существенно положительную величину. Наиболее общий случай потребует лишь незначительных изменении.

Метод состоит: 1) в установлении значений $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$, для которых функция
\[
\frac{V(A)}{T(A)}
\]

при известных условиях имеет стационарные (экстремальные) значения, и 2) в доказательстве того, что эти значения действительно представляют квадраты ( $\sigma^{2}$ ) собственных частот, безразлично, будут ли они все разными или нет.

Благодаря тому, что $T$ и $V$ имеют существенно положительный характер, функция (1) не может обращаться ни в нуль, ни в бесконечность. Следовательно, она имеет по кранней мере два стационарных значения: один наибольший и один наименьший предел.

Если мы теперь применим обычные методы анализа для отыскания стационарных (например наименьшєго) значений величины (1), то мы придем к точно тем же уравненияи (6) и (9) § 90 с $\sigma^{2}$ вместо $\lambda^{2}$. Таким образом мы во всяком случае получим действительное решение уравнения с положительным значением $\sigma^{2}$. Пусть
\[
A_{1}, A_{2}: \ldots: A_{n}
\]

будут найденные таким образом отношения коэфициентов.
Теперь мы обратимся к значениям
\[
A_{1}^{\prime}: A_{2}^{\prime}, \ldots, A_{n}^{\prime},
\]

которые делают стационарным значение функции
\[
\frac{V\left(A^{\prime}\right)}{T\left(A^{\prime}\right)},
\]

будучи подчинены условию:
\[
T\left(A, A^{\prime}\right)=0 .
\]

Очевидно, что такие стационарные значения существуют, и если мы сформулируем необходимые условия, то найдем, что эти условия можно свести к типу (6) § 90. Таким образом мы имеем второе решение, и условие (3) показывает, что второе решение отлично от первого, даже если получается случайно то же самое значение $\sigma^{2}$.

Следующий шаг заключается в установлении экстремального значения величины
\[
\frac{V\left(A^{\prime \prime}\right)}{T\left(A^{\prime \prime}\right)}
\]

при условиях
\[
T\left(A, A^{\prime \prime}\right)=0, \quad T\left(A^{\prime}, A^{\prime \prime}\right)=0
\]

и т. д., пока, наконец, условия типа (5) не приведут только к одному возможному определению.

Метод этот можно иллюстрировать на частном случае $n=3$. Здесь имеется аналогия с родственной задачей из аналитической геометрии в пространстве, и поэтому удобно применить обознамения последней. Обозначим координаты через $x, y, z$ и предположим далее, что при помощи линейного преобразования выражение кинетической энергии приведено к сумме квадратов с единичными коэфициентами. Это всегда можно сделать бесконечным числом способов. В таком случае пишем:
\[
2 T=\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2},
\]

и для потенциальной энергии
\[
2 V=a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y .
\]

Составляя уравнения движения и принимая, что $x, y, z$ изменяются пропорционально $e^{i s t}$, мы будем иметь систему уравнений:
\[
\left.\begin{array}{c}
\left(a-\sigma^{2}\right) x+h y+g z=0, \\
h x+\left(b-\sigma^{2}\right) y+f z=0 \\
g x+f y+\left(c-\sigma^{2}\right) z=0
\end{array}\right\}
\]

которая представляет лишь частный случай системы (6) $\S 90$, и, следовательно,
\[
\left|\begin{array}{ccc}
a-\sigma^{2} & h & g \\
h & b-\sigma^{2} & f \\
g & f & c-\sigma^{2}
\end{array}\right|=0 .
\]

По указанной причине функция
\[
u=\frac{a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
\]

необходимо имеет наименьшее значение. Это функция от двух независимых отношений $x: y: z$; ничто не изменится, если одно из этих количеств, например $z$, мы примем за постоянное, а два других – за независимые переменные. Но если мы примсм, что $\frac{\partial u}{\partial x}=0, \frac{\partial u}{\partial y}=0$, то отсюда будет вытекать также, что и $\frac{\partial u}{\partial z}=0$, так как $u$ нулевого измерения и, следовательно,
\[
x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}+z \frac{\partial u}{\partial z}=0 .
\]

Теперь на осїовании (10) имеем:
\[
u x+\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \frac{\partial u}{\partial x}=a x+h y+g z,
\]

и еще два подобных соотношения. Условия для достижения экстремального значения имеют, следовательно, вид (8) при $u=\sigma_{1}^{2}$, где $\sigma_{1}^{2}$ означает корень уравнения (9). Следовательно, во всяком случае имеется одно денствительное решение системы (8) вида:
\[
\frac{x}{x_{1}}=\frac{y}{y_{1}}=\frac{z}{z_{1}},
\]

где $x_{1}, y_{1}, z_{1}$ представляют отределенные функции от $\sigma_{1}^{2}$.
Следующий шаг заключается в определении экстремального (например, наименьшего) значения $u$ при выполнении условия:
\[
x x_{1}+y y_{1}+z z_{1}=0 .
\]

Как и при обычном методе математического анализа, положим:
\[
\frac{\partial u}{\partial x}=k x_{1}, \quad \frac{\partial u}{\partial y}=k y_{1},
\]

где $k$ означает неопределенный множитель, тогда на основании (11) и (14) имеем тәкже:
\[
\frac{\partial u}{\partial z}=k z_{1} .
\]

Следовательно, на основании (12) и двух других аналогичных равенств, имеем:
\[
\left.\begin{array}{c}
(a-u) x+h y+g z=\lambda x_{1}, \\
h x+(b-u) y+f z=\lambda y_{1}, \\
g x+f y+(c-u) z=\lambda z_{1},
\end{array}\right\}
\]

где
\[
\lambda=\frac{1}{2} k\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \text {. }
\]

Но если мы умножим уравнения (17) последовательно на $x_{1}, y_{1}, z_{1}$ и сложим, то на основании (14) получим:
\[
\begin{array}{c}
x\left(a x_{1}+h y_{1}+g z_{1}\right)+y\left(h x_{1}+b y_{1}+f z_{1}\right)+z\left(g x_{1}+f y_{1}+c z_{1}\right)= \\
=\lambda\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}\right) .
\end{array}
\]

Так как $x_{1}, y_{1}, z_{1}$ есть решение системы (8) при $\sigma^{2}=\sigma_{1}^{2}$, то левая часть приводится к виду:
\[
\sigma_{1}^{2}\left(x x_{1}+y y_{1}+z z_{1}\right) \text { или } 0
\]

в силу условия (14).
Следовательно, $\lambda=0$, и уравнения (17) приводятся к виду (8). Таким образом мы получаем второе решенне типа:
\[
\frac{x}{x_{2}}=\frac{y}{y_{2}}=\frac{z}{z_{2}},
\]

и условие (14) показывает, что это решение отличается от первого, даже если соответствующее значение $\sigma^{2}$ (например $\sigma_{2}^{2}$ ) будет тем же самым.

Если число переменных более трех, то мы будем продолжать таким же образом. В данном случае нам надо только определить отношения $x: y: z$ при помощи (14) и нового условия
\[
x x_{2}+y y_{2}+z z_{2}=0
\]

и показать, что они удовлетворяют системе уравнений (8).
Если $x, y, z$ имеют эти отношения, то определитель
\[
\left|\begin{array}{lll}
x & x_{1} & x_{2} \\
y & y_{1} & y_{2} \\
z & z_{1} & z_{2}
\end{array}\right|
\]

не обращается в нуль и, следовательно, можно определить три количества $\sigma^{2}, \lambda, \mu$, удовлетворяющих системе равенств:
\[
\left.\begin{array}{l}
\sigma^{2} x+\lambda x_{1}+\mu x_{2}=a x+h y+g z, \\
\sigma^{2} y+\lambda y_{1}+\mu y_{2}=h x+b y+f z, \\
\sigma^{2} z+\lambda z_{1}+\mu z_{2}=g x+f y+c z .
\end{array}\right\}
\]

Если мы умножим их последовательно на $x_{1}, y_{1}, z_{1}$ и сложим, то при помощи тех же методов, как и в случае (17), найдем, что $\lambda=0$. Аналогично, умножив на $x_{2}, y_{2}, z_{2}$ и сложив, найдем $\mu=0$. Следовательно, система уравнений (8) при данном виде $x, y, z$ удовлетворяется.

С геометрической точки зрения изложенныи метод является только методом нахождения главных осей элдипсоида:
\[
a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2 f y z+2 g z x+2 h x y=\text { const., }
\]

и если бы нас интересовал лищь случай $n=3$, то мы могли бы непосредственно обратиться ж обычной аналитической геометрии. Но, тем не менее, повидимому, стоит указать на систематический процесс, пригодный для более высоких значенйй $n$, когда геометрическая интуиция отпадает.

Мы пришли х трем различным решениям системы уравнений (8). Если мы включим члены, содержащие $e^{-i \sigma t}$, то можем написать:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{x}{x_{1}}=\frac{y}{y_{1}}=\frac{z}{z_{1}}=\theta_{1}, \\
\frac{x}{x_{2}}=\frac{y}{y_{2}}=\frac{z}{z_{2}}=\theta_{2}, \\
\frac{x}{x_{3}}=\frac{y}{y_{3}}=\frac{z}{z_{3}}=\theta_{3},
\end{array}\right\}
\]

где
\[
\left.\begin{array}{l}
\theta_{1}=A_{1} \cos \sigma_{1} t+B \sin \sigma_{1} t, \quad \theta_{2}=A_{2} \cos \sigma_{2} t+B_{2} \sin \sigma_{2} t, \\
\theta_{3}=A_{3} \cos \sigma_{3} t+B_{3} \sin \sigma_{3} t, \ldots .
\end{array}\right\}
\]

Количества $\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}$ являются нормальными координатами. Выражая через них, мы найдем, что
\[
\begin{aligned}
2 T=\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}\right) \dot{\theta}_{1}^{2} & +\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}\right) \dot{\theta}_{3}^{2}+ \\
& +\left(x_{3}^{3}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2}\right) \dot{\theta}_{3}^{2}, \\
2 V=\sigma_{1}^{2}\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}\right) \theta_{1}^{2} & +\sigma_{2}^{2}\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}\right) \theta_{2}^{2}+ \\
& +\sigma_{3}^{2}\left(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2}\right) \theta_{3}^{2} .
\end{aligned}
\]