Мы можем применить полученные результаты к тому случаю, когда твердое тело находится под действием мгновенных импульсов. Мы предполагаем внешние силы бесконечно большими, время их действия бесконечно малым, но так, что интегралы по времени остаются конечными.
Для краткости обозначений введем
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi=\int_{t_{0}}^{t_{1}} X d t, \quad \eta=\int_{t_{0}}^{t_{1}} Y d t, \quad \zeta=\int_{t_{0}}^{t_{1}} Z d t, \\
\lambda=\int_{t_{0}}^{t_{1}} L d t, \quad \mu=\int_{t_{0}}^{t_{1}} M d t, \quad v=\int_{t_{0}}^{t_{1}} N d t,
\end{array}\right\}
\]

где интервал $t_{1}-t_{0}$ предполагается бесконечно малым.
Иными словами, мы пренебрегаем изменением положения тела за время действия импульса, так как скорости остаются по предположению конечными.

Шесть количеств $\xi, \eta, \zeta, \lambda, \mu,
u$ могут быть названы составляющими или компонентами имульса, полученного телом.

Обращаясь к выражениям момента количеств движения в § 31 , находим:
\[
\begin{aligned}
M\left(u_{1}-u_{0}\right)=\xi, \quad M=\left(v_{1}-v_{0}\right)=\gamma_{1}, \quad M=\left(w_{1}-w_{0}\right)=\zeta, \quad \text { (2) } \\
4 p-H q-G r]_{t_{0}}^{t_{1}}=\lambda,[-H p+B q-F r]_{t_{0}}^{t_{1}}=\mu,[-G p-F q+C r]_{t_{0}}^{t_{1}}=\gamma \cdot(3)
\end{aligned}
\]

Если в качестве осей координат примем главные оси инерции для центра, масс, то последние уравненяя примут вид:
\[
A\left(p_{1}-p_{0}\right)=\lambda, \quad B\left(q_{1}-q_{0}\right)=\mu, \quad C\left(r_{1}-r_{0}\right)=
u .
\]

Если мы рассмотрим, например, движение твердого тела в какойлибо момент времени и определим его шестью количествами $u, v$, $w$, $p, q, r$, то составляющие импульса, рассматриваемого в качестве динамы, сообщающие покоящемуся телу это движение, могут быть выражены следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\xi=M u, \quad \eta=M v, \quad \zeta=M w, \\
\lambda=A p, \quad \mu=B q, \quad
u=C r .
\end{array}
\]

Из уравнечия (6) видно, что если покоящееся тело приведено в движение импульсивной парой ( $\lambda, \mu,
u$ ), то начальная ось вращения будет направлена по диаметру эллипсоида инерции, сопряженному с плоскостью пары ( $\$ 30$ ).

Если $H$ – величина момента пары, то составляющая его в направлении мгновенной оси вращения будет равна
\[
\frac{\tilde{\omega}}{\rho} H \text {, }
\]

где $\rho$ есть радиус-вектор эллипсоида инерции в направлении оси вращения, а $\tilde{\omega}$ – длина перпендикуляра, опущенного из центра на касательную плоскость к эллипсоиду в конце этого радиуса-вектора.

Эта составляющая должна быть равна Iю, где ш) есть начальная угловая скорость, а $I$ – момент инерция относительно мгновенной оси вращения. Следовательно:
\[
\omega=\frac{\tilde{\omega}}{\mathrm{i}} \cdot \frac{H}{I}
\]

или в виду того, что в обозначениях $\S 25 I=\frac{M \varepsilon^{4}}{\rho^{2}}$, имеем:
\[
\omega=\frac{H \tilde{\omega} \rho}{M s^{4}} .
\]

Кинетическая энергия, сообщенная импульсом, будет
\[
T=\frac{1}{2} I \omega^{2}=\frac{1}{2} \frac{H^{2} \tilde{\omega}^{2}}{I \rho^{2}}=\frac{1}{2} \frac{H^{2} \tilde{\omega}^{2}}{M \varepsilon^{4}} .
\]

При заданной величине $H$ энергия имеет наименьшее значение, когда направление импульсивного момента совпадает с наименьшей осью эллипсоида инерции, т. е. с осью наибольшего главного момента инерции.

Пример. Тело может только вращаться около неподвижной оси, проходящей через центр масс. Направляющие косинусы оси вращения относительно главных осей центрального эллипсоида инерции пусть будут равны $l, m, n$. Тело испытывает удар импульсивной пары ( $\lambda, \mu,
u$ ).

Рассматривая моменты относительно оси вращения, получим:

где
\[
I \omega=\lambda l+\mu m+v n,
\]
\[
I=A l^{2}+B m^{2}+C n^{3} \text {. }
\]

Таким образом
\[
\omega=\frac{\lambda l+\mu m+v n}{A l^{2}+B m^{2}+C n^{2}} .
\]

Сообщенная кинетическая энергия будет
\[
2 T=I \omega^{2}=\frac{(\lambda l+\mu m+v n)^{2}}{A l^{2}+B m^{2}+C n^{2}} .
\]

Силы реакции неподвижной оси вращения образуют пару импульсивных сил, момент которой имеет составляющими
\[
A l \omega-\lambda, \quad B m \omega-\mu, \quad C n \omega-
u .
\]

Если бы тело было совершенно свободно, то угловые скорости определялись бы равенствами (6), и кинетическая энергия на основании этих равенств имела бы выражение
\[
2 T^{\prime}=A p^{2}+B q^{2}+C r^{2} \text {. }
\]

Следовательно,
\[
\begin{aligned}
2\left(T^{\prime}-T\right) & =A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}-\frac{(A l p+B m q+C n r)^{2}}{A l^{2}+B m^{2}+C n^{2}}= \\
& =\frac{B C(n q-m r)^{2}+C A(l r-n p)^{2}+A B(m p-l q)^{2}}{A l^{2}+B m^{2}+C n^{2}} .
\end{aligned}
\]

Это выражение равно нулю, как это и должно быть, когда $l: m: n=p: q: r$; во всех же других случаях оно положительно. Следовательно, реакции уменьшают энергию, сообщаемую импульсом. Этот пример дан Эйлером. Он является частным случаем одной очень общей теоремы, которую мы приведем ниже ( $\$ 75,77)$.
45. Энергия, сообщаемая импульсом. В общем случае кинетинеская энергия, сообщаемая импульсом твердому телу, как это следует из уравнений (5) и (6) $\S 44$, будет
\[
\left.\begin{array}{rl}
T_{1}-T_{0} & =\frac{1}{2} M\left\{\left(u_{1}^{2}-u_{0}^{2}\right)+\left(v_{1}^{2}-v_{0}^{2}\right)+\left(w_{1}^{2}-w_{0}^{2}\right)\right\}+ \\
& +\frac{1}{2}\left\{A\left(p_{1}^{2}-p_{0}^{2}\right)+B\left(q_{1}^{2}-q_{0}^{2}\right)+C\left(r_{1}^{2}-r_{0}^{2}\right)\right\}= \\
& =\xi \cdot \frac{1}{2}\left(u_{1}+u_{0}\right)+\eta \cdot \frac{1}{2}\left(v_{1}+v_{0}\right)+\zeta \cdot \frac{1}{2}\left(w_{1}+w_{0}\right)+ \\
& +\lambda \cdot \frac{1}{2}\left(p_{1}+p_{0}\right)+\mu \cdot \frac{1}{2}\left(q_{1}+q_{0}\right)+
u \cdot \frac{1}{2}\left(r_{1}+r_{0}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Как и в случае плоского движения ( ДДинамика“, § 73), мы можем дать этому результату простое истолкование. Через $F$ обозначим каждую отдельную силу импульса, а через $v_{0}$ и $v_{1}$ начальную и конечную составляющие скорости точки, лежащей на линии действия этой силы в направлении ее действия. Выражение, стоящее во второй части равенства (1), будет эквивалентным сумме
\[
\sum F \cdot \frac{1}{2}\left(v_{0}+v_{1}\right),
\]

где суммирование распространяется на все импульсивные силы. Система сонечных сил, піропорциональных силам $F$, была бы эквивалентна динаме с көмпонентами, пропорциональными (при тех же множителях пропорциональности) $\xi, \eta, \zeta, \lambda, \mu,
u$. В то же время бесконечно малое винтовое перемещение с составляющими, пропорциональнызми
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2}\left(u_{1}+u_{0}\right), \frac{1}{2}\left(v_{1}+v_{0}\right), \frac{1}{2}\left(w_{1}+w_{0}\right), \\
\frac{1}{2}\left(p_{1}+p_{0}\right), \frac{1}{2}\left(q_{1}+q_{0}\right), \frac{1}{2}\left(r_{1}+r_{0}\right), \\
\end{array}
\]

представляло бы перемещение точки приложения $F$, проекция которого в направлении действия $F$ была бы равной $\frac{1}{2}\left(v_{0}+v_{1}\right)$, так как соотношения между скоростями различных точек тела линейны. Эквивалентность выражения (2) и последней чссти (1) следует в таком случае из сказанноге в $\S 21$.