Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике „Характеристическая функция“. В $\S \S 104$ и 105 мы имели дело со свободным движением консервативной системы в пределах между двумя конфигурациями, принимаемыми ею, сравнивая его с произвольными ${ }^{1}$ ) движениями между теми же конфигурациями. Так было показано, что с точностью до величин первого порядка „действие\” не изменяется, если мы будем сравнивать действия для (свободного) естественного движения и другого слегка измененного, между теми же двумя конфигурациями и с одинаковой полной энергией. Исследуем тетерь изменение в величине \”действия\” при действительном движении по сравнению с \”действием\” при другом тоже естественном (т. е. здесь тоже без связей) движении, но при котором и начальная и конечная конфигурации, а также и заданное значение энергии, незначительно изменяются. Пусть где $t$ и $t^{\prime}$ означают моменты прохождения через начальную и конечную конфигурации; кроме того, пусть $h$ означает полную энергию в перво- нагальном движении. Аналогично тому, как это изложено в § 104, найдем: где буквы, отмеченные штрихами, относятся к моменту времени $t$, а буквы без штрихов к моменту времени $t$. В соответствии с нашими обозначениями, варьированные крайние (т. е. начальная и конечная) конфигурации соответствуют моментам времени $t+\Delta t$ и $t^{\prime}+\Delta t$, а соотвєтствующие положения материальной точки $m$ системы будут: Если теперь $A, A^{\prime}$ будут начатьное и конечное положения точки $m$ на ее первоначальной траектории, $B, B^{\prime}$ – варьированные начальное и конечное положения, а $\alpha, \alpha^{\prime}$ – положения на варьированной траектории соответственно в моменты времени $t$, $t^{\prime}$, то мы имеем векторные равенства: Проектируя эти векторы на оси координат, получим: Следовательно, произведя подстановку выражений $\delta x, \delta x^{\prime}, \ldots$ в (2) и положив $t^{\prime}-t=\tau$, найдем: На основании изложенного в § 102 это же равенство принимает в обобщенных координатах следующий вид: Выбрав две произвольные конфигурации, мы при некоторых ограничениях ${ }^{1}$ ) можем вывести систему с заданным значением полной энергии из одной конфигурации так, чтобы она прошла через другую. Тогда рассматривая, „денствле\” $A$, как функцию от началь:\”х и ко еечных координат, а также и от энергии, будем иметь: и Функцию $A$, определенную таким образом, Гамильтон назвал „характеристической функцией“. Ее вид, если он известен, определит все механические свойства системы. Так, если даны начальные координаты $q_{r}$ и импульсы $p_{r}$, то $n$ уравнений: вместе с (6) определят $h$ и значения $q_{r}^{\prime}$ координат по истечении указанного интервала $\tau$. Конечные значения импульсов определятся тогда при помощи формул: Диференциальное уравнение, служащее для определения $A$ дано в $\S 110$. ПРимЕр. Если $U$ означает оптическое расстояние между точками $(x, y, z)$ и ( $\left.x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$ в среде с (переменным) показателе преломления $\mu$, а именно: то по корпускуллрной теории света имеем $\mu=v$ при условин, что скорость света в вакуме принята равной единице. Следовательно, на основании формул (5) будем иметь: где $d s^{\prime}$ означает элемент траектории луча. Откуда Эrо уравнение представляет частный случай уравнения Гамильтона (21) § 110. Эти уравнения имеют важное значение в гамильтоновом изложении геометрической оптики. Конечно, физический смысл функции $U$ в волновой тєории света другой, там она измеряет время распространения, а не пдействие“. В соответствии с этим основанием формулы служит тогда вместо принципа \”наименьшего действия“ принцип „наименьшего времени“, который сформулировал Ферма (§111).
|
1 |
Оглавление
|