Следующие примеры разъяснят различные пункты предыдущей теории.

ПРимЕР 1. Материальная точка кслеблется на гладкой поверхности около своего наинизшего положения. Это тоже случай маятника Блекберна („Динамика ${ }^{*}$, § 29).

При применении прямоугольных координат с осью $z$, направленной вниз, уравнение поверхности будет иметь вид:
\[
2 z=a x^{2}+2 h x y+b y^{2}+\ldots .
\]

Следовательно, с достаточным приближением имеем:
\[
\begin{array}{c}
2 T=m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right), \\
2 V=2 m g z=a x^{2}+2 h x y+b y^{2} .
\end{array}
\]

Таким образом уразнения двнжения будут иметь вид:
\[
m \ddot{x}+a x+h y=0, m \ddot{y}+h x+b y=0 .
\]

Положив
\[
x=F e^{i s t}, y=G e^{i s t} \text {, }
\]

получим:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\left(m \sigma^{2}-a\right) F-h G & =0, \\
-h F+\left(m s^{2}-b\right) G & =0,
\end{array}\right\}
\]

откуда
\[
\left(m \sigma^{2}-a\right)\left(m \sigma^{2}-b\right)-h^{2}=0 .
\]

Для того чтобы величина $V$ имела минимум при $x=0, y=0$, мы должны иметь:
\[
a>0, \quad b>0, \quad a b-h^{2}>0 .
\]

Тогда легко видеть, что значения $\sigma^{2}$, удовлетворяющие уравнению (6), будут действительными и положительными. В самом деле, выражсние, стоящее в левой части уравнения (6), при $\sigma^{2}=+\infty$ положительно, а при $\sigma^{2}=\frac{a}{m}$ или $\frac{b}{m}$ отрицательно, и затем при $\sigma^{2}=-\infty$ опять положительно. Если соответствукщие корни обозначить через $\sigma^{2}, \sigma^{\prime 2}$, то полное решение рассматриваемой системы диференциальных уравнений будет иметь вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
x=C \cos (\sigma t+\varepsilon)+C^{\prime} \cos \left(\sigma^{\prime} t+\varepsilon^{\prime}\right), \\
y=\frac{m \sigma^{2}-a}{h} C \cos (\sigma t+\varepsilon)+\frac{m \tau^{\prime 2}-a}{h} C^{\prime} \cos \left(\sigma^{\prime} t+\varepsilon^{\prime}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Если исключим $\sigma^{2}$ из уравнений (5), то получим:
\[
h\left(F^{2}-G^{2}\right)=(a-b) F G .
\]

Следовательно, направления двух ноэмальных колебаний определятся из равенствз:
\[
h\left(x^{2}-y^{2}\right)=(a-b) x y .
\]

Это уравнение главных осей индикатрисы поверхности, как это и следовало ожидать.

ГІ Ример 2. Три материальых точки с одинаковыми массами прикреплены на равных расстояниях $a$ к натянутой ниті длины $4 a$, причем концы нити закреплены неподвижно. Поперечные перемещения предполагаются настолько малыми, что сила натяжения $P$ изменяется очень нес:атительно.

Статические силы, необходимые для сообщения трем массам поперечных перемещений $y_{1}, y_{\%} y_{3}$, очевидно, имеют значения:
\[
\left.\begin{array}{l}
Y_{1}=P\left(\frac{y_{1}}{a}+\frac{y_{1}-y_{2}}{a}\right), \\
Y_{2}=P\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{a}+\frac{y_{2}-y_{3}}{a}\right), \\
Y_{3}=P\left(\frac{y_{3}}{a}+\frac{y_{3}-y_{2}}{a}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Следовательно, на основании (4) $\S 87$ потенциальной энергией будет
\[
V=\frac{1}{2}\left(Y_{1} y_{1}+Y_{2} y_{2}+Y_{3} y_{3}\right)=\frac{P}{a}\left(y_{1}^{4}+y_{2}^{2}+y_{4}^{2}-y_{1} y_{2}-y_{2} y_{3}\right) .
\]

Таким образом уравнениями движения будут:
\[
\left.\begin{array}{l}
m \ddot{y_{1}}+\frac{P}{a}\left(2 y_{1}-y_{2}\right)=0, \\
m \ddot{y_{2}}+\frac{P}{a}\left(2 y_{2}-y_{1}-y_{3}\right)=0, \\
m \ddot{y_{3}}+\frac{P}{a}\left(2 y_{3}-y_{2}\right)=0 .
\end{array}\right\}
\]

Принимая, что $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ изменяются пропорционально величине $e^{i s t}$, получим:
\[
\left.\begin{array}{r}
\left(\sigma^{2}-2 \mu\right) y_{1}+\mu y_{2}=0, \\
\mu y_{1}+\left(\sigma^{2}-2 \mu\right) y_{2}+\mu y_{3}=0, \\
\mu y_{2}+\left(\sigma^{2}-2 \mu\right) y_{3}=0,
\end{array}\right\}
\]

где $\mu=\frac{P}{m a}$. Исключая отношения $y_{1}: y_{2}: y_{3}$, найдем
\[
\left(\sigma^{2}-2 \mu\right)\left(\sigma^{4}-4 \mu \sigma^{2}+2 \mu^{2}\right)=0 .
\]

Корень $\sigma^{2}=2 \mu$ дает нам $y_{2}=0$ и $y_{1}=-y_{3}$; ясно, что такое колебание возможно. Остальные корни будут
\[
\tau^{2}=(2 \pm \sqrt{2}) \mu .
\]

При верхнем знаке мы получим
\[
y_{1}=y_{3}=-\frac{y_{2}}{\sqrt{2}},
\]

а ппи нижнем
\[
y_{1}=y_{2}=\frac{y_{2}}{\sqrt{2}} .
\]

Все эти колебания симметричны, а последний тип колебаний, при котором три понеречных смещения имеют одинаковый знак, имеет самый длинный период, как этого и следовало ожидать. Фиг. 60 показывает все три типа колебаний.

Систематическая теория колебаний непрерывных систем разных типов может быть найдена в других курсах. В частности поперечные колебания натянутой струны, которая дае: наиболее простой иример, относятся собственно к области акустики. Однако непрерывные системы дают такую интересную иллюстрацию разных пунктов рассматриваемой теории, что полезен будет хоть один пример.

Пример 3. Рассмотрим малые колебания цепи, подвешенной за один конец в вертикальном положении.

Если за начало координат взять нижний конец в положенин, равновесия, то сила натяжения $P$ на высоте $x$ над этой точкой будет имегь величину g $_{\rho} x$. где $\rho$ означает линейную плотность, при этом, конечно, перемещениями в вертикальном направ.ении, как величинами второго порядка малости, мы пренебрегаем. Если горизонтальное смещение обозначить через $y$, то горизонтальные составляющие сил натяжения, приложенных к верхнему и нижнему концам элемента $\hat{x} x$, будут иметь соответственно величины:
\[
-P \frac{\partial y}{\partial x} \quad \text { и } P \frac{\partial y}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial x}\left(P \frac{\partial y}{\partial x}\right) \hat{D} x
\]

Следовательно, уравнение движения этого элемента будет иметь вид:
\[
\text { po } x \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\left(P \frac{\partial y}{\partial x}\right) \hat{x} x,
\]

или
\[
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=g \frac{\partial}{\partial x}\left(x \frac{\partial y}{\partial x}\right) .
\]

Чтобы найти нормальные колебания, мы, как обычно, предположим, что $y$ изменяется пропорционально величине $e^{i s t}$, откуда
\[
\frac{\partial}{\partial x}\left(x \frac{\partial y}{\partial x}\right)+\frac{\sigma^{2}}{g} y=0 .
\]

Решение, конечное при $x=0$, можно получить при помощи рядов, но результат примет более удобный вид, если заменить $x$ новой независимой переменной $\tau$, пөложив
\[
x=\frac{1}{4} g \tau^{2} .
\]

Тогда уравнение принимает вид:
\[
\frac{\partial^{2} y}{\partial \tau^{2}}=\frac{1}{\tau} \frac{\partial y}{\partial \sigma}+c^{2} y^{\prime}=0 .
\]

Решением его, конечным при $\tau=0$, будет
\[
y=C J_{0}(\sigma \tau) \cos (\sigma \tau+\varepsilon) .
\]
1) Эго диференциальное уравнение в частных производных заменяет $n$ линейных уравнений типа (6) $\S 90$, которые получаются в случае системы с конечным числом степеней свободы.
2) Величина $\tau$ имеет следующую интерпретацию. Скорость волны, образующейся на нити при постоянном натяжении, равном натяжению, получающемуся в точке $x$, будет иметь велйчину $\sqrt{\frac{P}{\rho}}$ или $\sqrt{g x}$. Время, котэрое затратит геометрическая точка, движущаяся все время с этой местной скоростью, на перемещение от нижнего конца до точки $x$ будет:
\[
\int_{0}^{\infty} \frac{\partial x}{\sqrt{g x}}=\tau .
\]

где $J_{0}(\sigma \tau)$ обозначает бесселеву функцию нулевого порядка, а именно:
\[
J_{0}(\sigma \tau)=1-\frac{\sigma^{2} \tau^{2}}{2^{2}}+\frac{\sigma^{4} \tau^{4}}{2^{2} 4^{2}}-\ldots,
\]

а $C$ – произвольная постоянная. Значением $\tau$, соответствующим верхнему концу $\left(x^{*}=l\right)$, будет
\[
\tau_{1}=2 \sqrt{\frac{l}{g}},
\]

а условие неподвижности этого конца дает:
\[
J_{0}\left(\sigma \tau_{1}\right)=0 .
\]

Это уравнение, заменяющее уравнение $\Delta\left(\lambda^{2}\right)=0$ (§90), опредедяет допустимые значения $\sigma$; соответствующие типы нормальных колебаний определяются в этом случае формулой (19).
Корни уравнения (22)
\[
\frac{\sigma \tau_{1}}{\pi}=0,7655,1,7571,2,7516, \ldots,
\]

представляют последовательность чисел, асимптотически приближающихся к числам вида $s-\frac{1}{4}$, где $s$-целое число. В соответствии с этим наиболее длинный период имеет величину
\[
\frac{2 \pi}{\sigma}=5,225 \sqrt{\frac{l}{g}} .
\]

При других нормальных колебанях зачения $\tau$, соответствующие следующим корням, дают узлы или точки покоя $(y=0)$. Так, при втором нормальном колебании получается узел в точке, положение которой определяется равенствами
\[
\frac{\tau}{\tau_{1}}=\frac{0,7655}{1,7571}
\]

или
\[
\frac{x}{l}=\frac{\tau^{2}}{\tau_{1}^{2}}=0,190 .
\]

Первые два нормальных колебания представлены в раз ных масштабах на фиг. 61. Узлом является в первом случае точка подвеса.
Фиг 61.