На практике на колебания динамической системы влияют в большен или меньшей степени разного рода диссипативные силы. Для получения количественного представления об этом влиянии обычно в уравнения вводят силы трения, пропорциональные обобщенным скоростям. Этот метод знаком читателю, встречавшему его при рассмотрении случая вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы (\»Динамика“, § 94).

Во многих случаях, когда происхождение диссипативных сил известно, члены, представляющие эти силы в уравнениях в обобщенных координатах, будут особого типа, завися от некоторой функции скоростей. Предположим, например, что на материальную точку $m$ действует сила сопротивления, пропорциональная скорости точки, так что ее уравнения движения будут:
\[
m \ddot{x}+k \dot{x}=X, m \ddot{y}+k \dot{y}=Y, m \ddot{z}+k \dot{z}=Z .
\]

При составлении обобщенных уравнений движения мы помножили их соответственно на
\[
\frac{\partial x}{\partial q_{r}}, \frac{\partial y}{\partial q_{r}}, \frac{\partial z}{\partial q_{r}}
\]

и сложили. Из равенства (1) § 73 следует, что эти множители соответственно равны количествам
\[
\frac{\partial \dot{x}}{\partial \dot{q}_{r}}, \frac{\partial \dot{y}}{\partial \dot{q}_{r}}, \frac{\partial \dot{z}}{\partial \dot{q}_{r}} .
\]

Следовательно, в дополнение к членам, полученным прежде в (5) § 77 , мы имеем теперь выражение:
\[
\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial \dot{q}_{r}} \sum k\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)
\]

Далее предположим, что любые материальные точки $m_{1}, m_{2}$ действуют друг на друга с силами, пропорциональными относительной скорости. В уравнении движения точки $m_{1}$ будем иметь тогда члены:
\[
k\left(\dot{x}_{1}-\dot{x}_{2}\right), k\left(\dot{y}_{1}-\dot{y}_{2}\right), k\left(\dot{z}_{1}-\dot{z}_{2}\right),
\]

а в уравнениях движения точки $m_{2}$ члены:
\[
k\left(\dot{x}_{2}-\dot{x}_{1}\right), k\left(\dot{y}_{2}-\dot{y}_{1}\right), k\left(\dot{z}_{2}-\dot{z}_{1}\right) .
\]

Если умножим выражения (3) на $\frac{\partial \dot{x}_{1}}{\partial \dot{q}_{r}}, \frac{\partial \dot{y}_{1}}{\partial \dot{q}_{r}}, \frac{\partial \dot{z}_{1}}{\partial \dot{q}_{r}}$, а выражения (4) на $\frac{\partial \dot{x}_{2}}{\partial \dot{q}_{r}} ; \frac{\partial \dot{y}_{2}}{\partial \dot{q_{r}}}, \frac{\partial \dot{z}_{2}}{\partial \dot{q}_{r}}$, и сложим, то в конце концов получим результат:
\[
\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial \dot{q}_{r}} \sum k\left\{\left(\dot{x}_{1}-\dot{x}_{2}\right)^{2}-\left(\dot{y}_{1}-\dot{y}_{2}\right)^{2}+\left(\dot{z}_{1}-\dot{z}_{2}\right)^{2}\right\} .
\]

Следовательно, во всех таких случаях уравнения малых колебаний имеют в обобщенных координатах вид:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}_{r}}+\frac{\partial V}{\partial q_{r}}=0,
\]

где $F$ представляет однородную квадратичную функцию обобщенных скоростей, именно:
\[
2 F=b_{11} \dot{q}_{1}^{2}+b_{22} \dot{q}_{2}^{2}+\ldots+2 b_{12} \dot{q_{1}} \dot{q_{2}}+\ldots ;
\]

кроме того, эта функция существенно положительна.
Если уравнения (6) умножим на $\dot{q}_{r}$ и сложим $n$ полученных таким образом равенств, то найдем:
\[
\frac{d}{d t}(T+V)=-2 F \text {. }
\]

Следовательно, функция $2 F$ измеряет скорость, с которой механическая энергия системы уменьшается вследствие рассматриваемых сопротивлений. Она была введена в теорию колебаний Рэлеем ${ }^{1}$ ) n названа им „диссипативной функцией ( „функция рассеяния“). Термин „диссипативность\» предложил Кельвин.