Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Имеется, однако, случай особенно простой, а именно – движение однородного шара или, в более общем случае, тела кинетически симметричного относительно центра масс. В этом случае мы имеем: где $I$-момент инерции относительно любого диаметра. Обозначая через $a$ радиус шара, мы получим еще следующие уравнения: Таким образом угловая скорость $r$ вращения вокруг нормали к плоскости постоянна. Ввиду того, что та точка поверхности шара, которая в данный момент касается плоскости, имеет скорость, равную нулю, мы получаем дополнительные кинематические условия: Эти условия получаются из рассмотрения вращения шара вокруг осей, проходящих через точку касания и параллельных осям $O x$ и $O y$. Следовательно, центр масс имеет такое же ускорение, какое он имел бы при движении шара по совершенно гладкой плоскости, но если бы при этом масса шара увеличилась на $\frac{I}{a^{2}}$ или на $\frac{M k^{2}}{a^{2}}$, где через $k$ обозначен радиус инерции шара относительно диаметра. Так, шар, катящийся под действием тяжести по плоскости, наклоненной к горизонту под углом $\alpha$, будет иметь постоянное ускорение, равное в направлении наибольшего ската. В общем случае траектория центра шара будет представлять собою параболу. Если шар однородный, то и ускорение равно Если шар не только катится, но и может скользить по плоскости, уравнения (1) и (2) остаются в силе, но чисто геометрическое условие (3) должно быть заменено другим где $V$ есть скорость скольжения шарі, т. е. скорость той точки его поверхности, которая в данный момент касается плоскости, а $\theta$ – угол между направлением скорости $V$ и осью $O x$. Предположим для упрощения, что плоскость горизонтальна и что других сил, кроме силы тяжести и трения, нет. и, следовательно, Динамические уравнения сведутся к следующим: огкуда Если мы обозначим равнодействукщую сил трения через $S$ и предположим, что ее направление противоположно направлению, в котором происходит скольжение, то получим: Из (6) и (8) в таком случае выводнм: Следовательно $\dot{\theta}=0$, т. е. направление скольжения остается постоянным, и далее Для движения центра мы имеем уравнения: Таким образом, если $S$ постоянно, то ускорение ценгра тоже остается постоянным по величине и направлению, и траектория центра представляет параболу. Принимая обычный закон трения, мы имеем $S=\mu M g$ и, следовательно: Скольжение будет продолжаться только до тех пор, пока $V$ положительно. Если начальное его значение равно $V_{0}$, то $V$ будет равно нулю через промежуток времени, равный Для движения биллиардного шара значение постоянных и $V_{0}$ таковы, что время скольжения шара очень невелико.
|
1 |
Оглавление
|