Если коордкнаты $q_1,q_2,\dots ,q_n$ преобразованы при помощи линейной подстановки с постоянными коэфициентами, например:
$$q_r=A_r^{\theta }+A_r^{\prime }{\theta }^{\prime }+A_r^{\prime \prime }{\theta }^{\prime \prime }+\dots ,$$

где $\theta ,{\theta }^{\prime },{\theta }^{\prime \prime },\dots$ означают $n$ новых переменных; то квадратичный характер выражений для кинетической и потенциальной энергии и общий характер предыдущего решения, конечно, не изменятся. Но мы получим существенное упрощение, если коэфициенты в формулах (1) определим так, чтобы обе формулы для $T$ и $V$ приводились к суммам квадратов, например:
$$\begin{array}{l}2T=a{\dot{\theta }}^2+a^{\prime }{\dot{\theta }}^{\prime 2}+a^{\prime \prime }{\dot{\theta }}^{\prime \prime 2}+\dots ,\\ 2V=c^2+c^{\prime }{\theta }^{\prime 2}+c^{\prime \prime }{\theta }^{\prime \prime 2}+\dots .\end{array}$$

На основании алгебраических соображений это всегда возможно, так как в формулах преобразования (1) мы имеем в своем распоряже нии $n^2$ коэфициентов, которые можно выбрать так, чтобы $\frac{1}{2}n(n-1)$ произведений (таких как $\ddot{\theta }{\dot{\theta }}^{\prime }$ ) в окончательном выражении $T$ и $\frac{1}{2}n(n-1)$ произведений в выражении $V$ исчезли. Кроме того, мы. можем всегда удовлетворить $n$ добавочным соотношениям; например, мы можем наложить условия
$$a=a^{\prime }=a^{\prime \prime }=\dots =1.$$

Если указанное преобразование выполнено, то новые переменные $\theta ,{\theta }^{\prime },{\theta }^{\prime \prime },\dots$ называются „главными \» или „нормальными“ координатами. Коэфициенты $a,a^{\prime },a^{\prime \prime },\dots$ называются „лавными коэфициентами инерции“; они положительны благодаря тому, что $T$ имеет существенно положительныИ характер. Коэфициенты $c,c^{\prime },c^{\prime \prime },\dots$ называются ${}_n$ главными коэфициентами устойчивости“; они положительны, если $V$ при положении равновесия (около которого происходит движение) имеет минимум.

Уравнения движения в нормальных координатах (3) §90 принимают вид:
$$a\ddot{\theta }+c\theta =0,a^{\prime }\ddot{{\theta }^{\prime }}+c^{\prime }{\theta }^{\prime }=0,a^{\prime \prime }{\ddot{\theta }}^{\prime \prime }+c^{\prime \prime }{\theta }^{\prime \prime }=0,\dots .$$

Эти уравнения независимы и в случае полной устойчивостп решения их:
$$6=C\cos (\sigma t+\epsilon ),{\theta }^{\prime }=C^{\prime }\cos ({\sigma }^{\prime }t+{\epsilon }^{\prime }),{\theta }^{\prime \prime }=C^{\prime \prime }\cos ({\sigma }^{\prime \prime }t+{\epsilon }^{\prime \prime }),\dots ,$$

где
$${\sigma }^2=\frac{c}{a},{\sigma }^{\prime 2}=\frac{c^{\prime }}{a^{\prime }},{\sigma }^{\prime \prime 2}=\frac{c^{\prime \prime }}{a^{\prime \prime }},\dots ,$$

представляют $n$ нормальных колебаний, свойственных системе. При каждом нормальном колебании изменяется только одна главная координата.

Если все корни определителя $\mathrm{\Delta }\left({\lambda }^2\right)$ различны, то необходимое преобразование единственное и может быть выполнено при помощи некоторых „ортогональных “ или \»сопряженных“ соотношений, которые мы и будем употреблять в дальнейшем.

Пусть ${\lambda }^2$ означает один из корней определителя $\mathrm{\Delta }\left({\lambda }^2\right)$ и пусть $A_1,A_2,\dots ,A_n$ удовлетворяют $n$ соотношениям (6) $\mathrm{\S }90$, а именно:
$$(a_{1r}{\lambda }^2+c_{1r})A_1+(a_{2r}{\lambda }^2+c_{2r})A_2+\dots +A(a_n{\lambda }^2+C_{nr})A_n=0.$$

Если ${\lambda }^{\prime 2}$ будет другой корень, отличный от первого, то мы таким же образом определим $A_1^{\prime },A_2^{\prime },\dots ,A_n^{\prime }$ как функции от ${\lambda }^{\prime 2}$. Умножим
1) Это возможно, даже если система имеет не одно, а несколько решений, как в случае кратного корня.

теперь $n$ уравнений (7) последовательно на $A_1^{\prime },A_2^{\prime },\dots ,A_n^{\prime }$ и сложим. Результат можно записать в виде:
$${\lambda }^{2}T(A,A^{\prime })+V(A,A^{\prime })=0,$$

где
$$\begin{array}{l}2T(A,A^{\prime })=a_{11}{A}_1{A}_1^{\prime }+a_{22}{A}_2{A}_2^{\prime }+\dots +a_{12}(A_1{A}_2^{\prime }+A_1^{\prime }{A}_2)+\dots \\ 2V(A,A^{\prime })=c_{11}{A}_1{A}_1^{\prime }+c_{22}{A}_2{A}_2^{\prime }+\dots +c_{12}(A_1{A}_2^{\prime }+A_1^{\prime }{A}_2)+\dots \end{array}$$

Благодаря симметрии этих формул, мы должны иметь также:
$${\lambda }^{\prime 2}T(A,A^{\prime })+V(A,A^{\prime })=0.$$

Так как по предположению ${\lambda }^{2}eq{\lambda }^{\prime 2}$, то, следовательно, имеем равенства:
$$T(A,A^{\prime })=0,V(A,A^{\prime })=0,$$

которые и представляют упомянутые выше ортогональные соотношения.
Далее, если уравнения (7) умножим соответственно на $A_1,A_2,\dots$, $A_n$ и сложим, то получим:
$${\lambda }^{2}T(A)+V(A)=0,$$

где
$$\begin{array}{l}2T(A)=2T(A,A)=a_{11}{A}_1^2+a_{22}{A}_2^2+\dots +2a_{12}{A}_1{A}_2+\dots ,\\ 2V(A)=2V(A,A)=c_{11}{A}_1^2+c_{22}{A}_2^3+\dots +2c_{12}{A}_1{A}_2+\dots \end{array}$$

Если теперь произвести подстановку из (1) в выражения кинетической и потенциальной энергии, то они приведутся к суммам квадратов, так как на основании (12) коэфициенты перед произведеңиями обратягся в нуль. Мы получим формулы (2) и (3), в которых
$$\begin{array}{ll}a=T(A),& a^{\prime }=T\left(A^{\prime }\right),a^{\prime \prime }=T\left(A^{\prime \prime }\right),\dots ,\\ c=V(A),& c^{\prime }=V\left(A^{\prime }\right),c^{\prime \prime }=V\left(A^{\prime \prime }\right),\dots \end{array}$$

Заметим, наконец, что так как $a,a^{\prime },a^{\prime \prime },\dots$ положительны, то мы можем написать:
$$\phi =\sqrt{a}\theta ,{\phi }^{\prime }=\sqrt{a^{\prime }}{\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime \prime }=\sqrt{a^{\prime \prime }}{\theta }^{\prime \prime },\dots ,$$

и таким образом привести формулы (2) и (3) к виду:
$$\begin{array}{rl}2T& ={\dot{\phi }}^2+{\dot{\phi }}^{\prime 2}+{\dot{\phi }}^{\prime 2}+\dots \\ 2V& =\frac{c}{a}{\phi }^2+\frac{c^{\prime }}{a^{\prime }}{\phi }^{\prime 2}+\frac{c^{\prime \prime }}{a^{\prime \prime }}{\phi }^{\prime \prime 2}+\dots ,\end{array}$$

Пример. Рассмотреть задачу о колебаниях трех масс, прикрепленных к натянутой нити, как в примере $2\mathrm{\S }91$.

Если мы вместо $\frac{ma}{P}$ будем писать $k$, то характеристическим уравнением будет:
$$\begin{array}{rrr}k{\lambda }^2+2& -1& 0\\ -1& k{\lambda }^2+2& -1\\ 0& -1& k{\lambda }^2+2\end{array}|=0$$

корни которого удовлетворяют соответственно равенствам:
$$k{\lambda }^2+2=0,\sqrt{2},-\sqrt{2}.$$

Минорами первой строки определигеля являются соответственно:
$${(k{\lambda }^2+2)}^2-1,k{\lambda }^2+2,1.$$

Для значений, соответствующих трем предыдущим корням, имеем:
$$\begin{array}{ll}{\alpha }_1=-1,{\alpha }_2=0,& {\alpha }_3=1,\\ {\alpha }_1^{\prime }=1,{\alpha }_2^{\prime }=\sqrt{2},& {\alpha }_3^{\prime }=1,\\ {\alpha }_1^{\prime \prime }=1,{\alpha }_2^{\prime \prime }=—\sqrt{2},{\alpha }_3^{\prime \prime }=1.\end{array}$$

Поэтому в соответствии с (1) положим:
$$y_1=-\theta +{\theta }^{\prime }+{\theta }^{\prime \prime },y_2=\sqrt{2}({\theta }^{\prime }-{\theta }^{\prime \prime }),y_3=\theta +{\theta }^{\prime }+{\theta }^{\prime \prime }.$$

Это дает нам:
$$\begin{array}{c}T=m({\dot{\dot{\psi }}}^2+2{\dot{\theta }}^{\prime 2}+2{\dot{b}}^{\prime \prime 2}),\\ V=\frac{2P}{a}\{{\dot{\theta }}^2+(2-\sqrt{2}){\theta }^{\prime 2}+(2+\sqrt{2}){\theta }^{\prime \prime 2}\}.\end{array}$$

Для дополнительного доказательства действительности всех корней определителя $\mathrm{\Delta }\left({\lambda }^2\right)$ можно составить ортогональные соотношения (12). Так как комплексные корни, если они имеются, будут попарно сопряженными, то
$${\lambda }^2=p+iq,{\lambda }^{\prime 2}=p-iq,$$

а соответствующие значения $A,A^{\prime }$ будут также сопряженными комплексными количествами, например,
$$A_r=M_r+i{N}_r,A_r^{\prime }=M_r^{\prime }-i{N}_r^{\prime },$$

что дает соотношения:
$$A_r{A}_r^{\prime }=M_r^2+N_r^s,A_r{A}_s^{\prime }+A_r^{\prime }{A}_s=2M_r{M}_s+2N_r{N}_s.$$

Следовательно на основании (9) соотношение
$$T(A,A^{\prime })=0$$

принимает вид:
$$T(M)+T(N)=0,$$

что невозможно, так как оба члена существенно положительны.