Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Если коордкнаты $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ преобразованы при помощи линейной подстановки с постоянными коэфициентами, например: где $\theta, \theta^{\prime}, \theta^{\prime \prime}, \ldots$ означают $n$ новых переменных; то квадратичный характер выражений для кинетической и потенциальной энергии и общий характер предыдущего решения, конечно, не изменятся. Но мы получим существенное упрощение, если коэфициенты в формулах (1) определим так, чтобы обе формулы для $T$ и $V$ приводились к суммам квадратов, например: На основании алгебраических соображений это всегда возможно, так как в формулах преобразования (1) мы имеем в своем распоряже нии $n^{2}$ коэфициентов, которые можно выбрать так, чтобы $\frac{1}{2} n(n-1)$ произведений (таких как $\ddot{\theta} \dot{\theta}^{\prime}$ ) в окончательном выражении $T$ и $\frac{1}{2} n(n-1)$ произведений в выражении $V$ исчезли. Кроме того, мы. можем всегда удовлетворить $n$ добавочным соотношениям; например, мы можем наложить условия Если указанное преобразование выполнено, то новые переменные $\theta, \theta^{\prime}, \theta^{\prime \prime}, \ldots$ называются „главными \” или „нормальными“ координатами. Коэфициенты $a, a^{\prime}, a^{\prime \prime}, \ldots$ называются „лавными коэфициентами инерции“; они положительны благодаря тому, что $T$ имеет существенно положительныИ характер. Коэфициенты $c, c^{\prime}, c^{\prime \prime}, \ldots$ называются ${ }_{n}$ главными коэфициентами устойчивости“; они положительны, если $V$ при положении равновесия (около которого происходит движение) имеет минимум. Уравнения движения в нормальных координатах (3) §90 принимают вид: Эти уравнения независимы и в случае полной устойчивостп решения их: где представляют $n$ нормальных колебаний, свойственных системе. При каждом нормальном колебании изменяется только одна главная координата. Если все корни определителя $\Delta\left(\lambda^{2}\right)$ различны, то необходимое преобразование единственное и может быть выполнено при помощи некоторых „ортогональных “ или \”сопряженных“ соотношений, которые мы и будем употреблять в дальнейшем. Пусть $\lambda^{2}$ означает один из корней определителя $\Delta\left(\lambda^{2}\right)$ и пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ удовлетворяют $n$ соотношениям (6) $\S 90$, а именно: Если $\lambda^{\prime 2}$ будет другой корень, отличный от первого, то мы таким же образом определим $A_{1}^{\prime}, A_{2}^{\prime}, \ldots, A_{n}^{\prime}$ как функции от $\lambda^{\prime 2}$. Умножим теперь $n$ уравнений (7) последовательно на $A_{1}^{\prime}, A_{2}^{\prime}, \ldots, A_{n}^{\prime}$ и сложим. Результат можно записать в виде: где Благодаря симметрии этих формул, мы должны иметь также: Так как по предположению $\lambda^{2} которые и представляют упомянутые выше ортогональные соотношения. где Если теперь произвести подстановку из (1) в выражения кинетической и потенциальной энергии, то они приведутся к суммам квадратов, так как на основании (12) коэфициенты перед произведеңиями обратягся в нуль. Мы получим формулы (2) и (3), в которых Заметим, наконец, что так как $a, a^{\prime}, a^{\prime \prime}, \ldots$ положительны, то мы можем написать: и таким образом привести формулы (2) и (3) к виду: Пример. Рассмотреть задачу о колебаниях трех масс, прикрепленных к натянутой нити, как в примере $2 \S 91$. Если мы вместо $\frac{m a}{P}$ будем писать $k$, то характеристическим уравнением будет: корни которого удовлетворяют соответственно равенствам: Минорами первой строки определигеля являются соответственно: Для значений, соответствующих трем предыдущим корням, имеем: Поэтому в соответствии с (1) положим: Это дает нам: Для дополнительного доказательства действительности всех корней определителя $\Delta\left(\lambda^{2}\right)$ можно составить ортогональные соотношения (12). Так как комплексные корни, если они имеются, будут попарно сопряженными, то а соответствующие значения $A, A^{\prime}$ будут также сопряженными комплексными количествами, например, что дает соотношения: Следовательно на основании (9) соотношение принимает вид: что невозможно, так как оба члена существенно положительны.
|
1 |
Оглавление
|