1. Вывести правило сложения бесконечно малых вращений около параллельных осей из построения Родрига для поворотов на конечный угол (\$3).
2. Доказать, исходя из основных положении, что три бесконечно малых вращения, изображаемых отрезками $\mathrm{BC}, \mathrm{CA}, \mathrm{AB}$ равносильны поступательному
1) Содержание $\S 11$ и 12 взято в основном из сочинения Болла, о котором упомянуто выше. В нем можно найти ссылки на исследования и других авторов по этому вопросу.
Зак. 1259. Јамб. Теоретнческая механика.

движению на расстояние, пропорциснальное площади треугольника $A B C$ в направлении, нормальном к плоскости $A B C$.
3. Проверить при помощи обычньх формул преобразования прямоугольных координат, что $p^{2}+q^{2}+r^{2}$ и $l p+m q+n r \S 9$ абсолютные инварианты.
4. Доказать, что уравнения (9) $\S 9$ для оси винтового движения, равносильного произвольному данному бесконечно малому перемещению, могут быть написаны в следующем виде:
\[
\frac{\frac{x-(q n-r m)}{\omega^{2}}}{p}=\frac{\frac{y-(r l-p n)}{\omega^{2}}}{q}=\frac{\frac{z-(p m-q l)}{\omega^{2}}}{r} .
\]
5. При произвольном бесконечно малом перемещении через каждую точку какой-либо данной прямой тела проводим прямые в направлении перемещения этих точек. Показать, что эти прямые являются образующими параболоида.
6. Показать, что
если прямая параллельна оси вита, то ее сопряженная есть бесконечно удаленная прямая;

если прямая совпадает со своею сопряженной, то она является нулевой прямой;

если прямая перпендикулярна оси винта то ее сопряженная пересекает ось.
7. Нулевые плоскости разлицных точек прямой пересекаются вдоль сопряженной прямой.
8. Прямые, проведенные через различные точки твердого тела при его бесконечно малом перемещении в направлении перемещений этих точек, перпендикулярны соответствующим сопряженным прямым.
9. Всякие две пары прямых, сопряженных между собою по отношению к данному винтовому двнжению, лежат на гиперболоиде.
10. Направив ось $O z$ вдоль оси винта, параметр которого равен $\tilde{\omega}$, показать, что уравнением полярной плоскости точки ( $x_{1}, y_{1}, z_{1}$ ) будет:
\[
x y_{1}-y x_{1}=\tilde{\omega}\left(z-z_{1}\right) .
\]

Доказать, что уравнениями прямой, сопряженной с прямой
\[
\begin{array}{l}
x=\lambda z+\alpha, \\
y=\mu z+\beta,
\end{array}
\]

еудут:
\[
\begin{array}{c}
x=\lambda z+\alpha, \\
y=\mu z+\beta, \\
x=\frac{\tilde{\omega}}{\beta \lambda-\alpha \mu}(\lambda z+\alpha), \\
y=\frac{\tilde{\omega}}{\beta \lambda-\alpha \mu}(\mu z+\beta) .
\end{array}
\]
11. Направив ось $O z$ вдоль оси винта, показать, что прямые, перпендикулярные своим сопряженным, образуют комплекс второго порядка, уравнение которого в линейных координатах имеет вид:
\[
l p+m q+\tilde{\omega}\left(p^{2}+q^{2}\right)=0 .
\]
12. Доказать, что геометрическое место точек, в которых направления перемещений проходят через одну заданную точку $O$, есть пространственная кривая третьего порядка, лежащая на круговом цилиндре. Ось кручения кривой и параллельная е月 прямая, проходящэя через $O$, являются противолежащими образующими цилиндра.
13. Если движение тела подчинено только одной связи, то частицы тела, расположенные вдоль некоторой прямой, не могут перемещаться вдоль этой прямой иначе, как с поворотом вокруг этой прямой на угол иропорциональный продольному перемещению.
[Томсон и Тэт]

14. Если твердый эллипсоид концами $A, B, C$ своих сопряженных диаметров соприкасается в трех точках с неподвижными поверхностями, то при всяком бесконечно малом перемещении центр эллипсоида движется в плоскости, параллельной плоскости $A B C$.
Примеры III.
Цилинд роид и пр.
1. Доказать, что плоскость, проходящая через образующую цллиндроида, пересекает поверхность вдоль эллиіса, нормальная проекция которого на плоскость $x y$ есть окружность.
2. Тело имеет винтовое движение около оси, принадлежащей цилиндроиду,
\[
z\left(x^{2}+y^{2}\right)=2 c x y .
\]

Показать, что перемещение в начале координат параллельно диаметру индикатрисы параметра винтов, сопряженному с направлением оси винта.
3. Окружность радиуса $c$ вращается с некоторой постоянной угловой скоростью вокруг оси $A B$, лежащей в ее плоскости. Точка $P$ движется по этой окружности с двойной угловой скоростью. Доказать, что перпендикуляр $P N$, опущенный из $P$ на $A B$, образует цилиндроид с параметром $c$, а длина $P N$ дает параметр соответствующего винта в возможной системе винтов.
4. Доказать, что сумма параметров двух винтов, оси которых проходят через какую-либо точку оси цилиндроида, остается постоянной.
5. Если тело последовательно движется по трем винтам цилиндроида и если величина каждого перемещения пропорциональна синусу угла между двумя другими осями, то в результате тело возвращается к своему первоначальному положению.
6. Тело имеет независимые межцу собою бесконечно малые вращения около двух взаимно перпендикулярных, но не пересекающихся осей. Показать, что уравнением получающегося таким образом цилиндроида будет
\[
z\left(x^{2}+y^{2}\right)=c\left(x^{2}-y^{2}\right),
\]

если оси $O x$ и $O y$ параллельны данным осям, а начало координат лежит в середине их кратчайшего расстояния.
7. Оси двух винтов даны уравнениями:
\[
y=0, z=c \text { и } x=0, z=-c,
\]

а параметры равны соответственно о и – б. Показать, что уравнением соответствующего цилиндроида будет
\[
z\left(x^{2}+y^{2}\right)=c\left(x^{2}-y^{2}\right)-2 \tilde{\omega} x y .
\]
8. Тело имєет произвольные вращения около трех осей
\[
\begin{array}{l}
y=b, \quad z=-c ; \\
z=c, \quad x=-a ; \\
x=a, \quad y=-b .
\end{array}
\]

Дөказать, что геометрическим местом осей всех винтов с параметром, равным $\dot{\omega}$, будет
\[
2 a y z+2 b z x+2 c x y+2 a b c+\tilde{\omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}\right)+\hat{\omega}^{3}=0 .
\]