Существуют два общих вакона, прлложимых к любой материальной системе, какова бы ни была природа внутренних сил или наложенных связей, а именно: закон количества движения и закон момента количеств движения.

Согласно первому закону для всякой системы при отсутствии внешних сил составляющая количества движения системы вдоль любого неподвижного направления остается постоянной. Из § 30 следует, что в таком случае центр масс движется по прямой с постоянной скоростью. Если же к точкам системы приложены внешние силы, то скорость изменения (производная по времени) количества движения системы вдоль любого (неизменного) направления равна составляющей от результирующей всех приложенных сил в том же направлении.

Движение центра масс, следовательно, такое же, как если бы вся масса была сосредоточена в этой точке, а все силы, приложенные к точкам системы, были параллельно перенесены и к ней приложены, сохраняя свое направление.

Согласно второму закону момент количеств движения системы относительно любой неподвижной оси при отсутствии внешних сил остается гостоянным. При действии же внешних сил скорость изменения (производная по времени) этого момента равна моменту всех внешних сил относительно той же оси.

Если $(x, y, z)$ – координаты одной из точек системы, имеющей массу $m$, относительно прямоугольной неподвижной системы координат, то аналитически можно выразить оба закона уравнениями:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d}{d t} \sum m \dot{x}=X, \frac{d}{d t} \sum m \dot{y}=Y, \frac{d}{d t} \sum m \dot{z} & =Z, \\
\frac{d}{d t} \sum m(y \dot{z}-z \dot{y})=L, \frac{d}{d t} \sum m(z \dot{x}-x \dot{z}) & =M, \\
\frac{d}{d t} \sum m(x \dot{y}-y \dot{x}) & =N .
\end{array}\right\}
\]

Знак $\sum$ относится к суммированию по всем материальным точкам системы, $X, Y, Z$ означают составляющие всех внешних сил вдоль осей координат, а $L, M, N$ – моменты этих сил относительно тех же осей.

Указанные законы без труда доказываются в случае системы, состоящей из отдельных материальных частиц, действующих одна на другую с силами, направленными по прямым, их соединяющим, и подчиненными закону равенства действия и противодействия.

Если мы желаем избежать гипотез о внутреннем строении таких непрерывных систем, как твердое тело, или жидкость, то мы можем или формулировать эти законы в качестве физических постулатов, что, может быть, является самым лучшим способом изложения, или. возвратиться к принципу Даламбера, который в истории науки и послужил основанием первого систематического изложения динамики протяженных тел (\”Динамика“, § 53).

Если мы будем рассматривать любую материальную точку с массой $m$, то равнодействующая всех действующих на нее сил как внешних, так и внутренних, должна иметь составляющие вдоль осей, равные $m \ddot{x}, m \ddot{y}$ и $m \ddot{z}$. Вектор с такими составляющими Даламбер называет \”эффективной силой “, действующей на точку $m$. Принцип Даламбера сводится к предпосылке, что совокупность всех эффективных сил, действующих на различные точки системы, эквивалентна в смысле статики всем внешним силам, т. е. они должны иметь те же составляющие вдоль любого направления и тот же момент относительно любой оси.
Это приводит к следующим уравнениям:
\[
\begin{array}{c}
\sum m \ddot{x}=X, \sum m \ddot{y}=Y, \sum m \ddot{z}=Z, \\
\sum m(\ddot{y z}-z \ddot{y})=L, \Sigma m(z \ddot{x}-x \ddot{z})=M, \sum m(x \ddot{y}-y \ddot{x})=N,
\end{array}
\]

которые равносильны уравнениям (1) и (2).

Было уже указано ( $\$ 31$ ), что при вычислении момента количеств движения тела относительно какой-либо оси, проходящей через точку мгновенного положения центра масс $G$, мы можем оставить без внимания движение самого центра $G$ и рассматривать только относительное движение по отношению к $G$.

Дальше очень важно отметить, чго при вычислении скорости изменения (производной по времени) момента количеств движения относительно какой-либо н е подв ижно й оси, проходящей через мгновенное положение центра $G$, мы можем также рассматривать только одно относительное движение.

В указанном параграфе было показано, что количество движения системы в момент времени $t$ может быть приведено (для целей решения уравнений и определения моментов) к количеству движения системы $(\boldsymbol{\Sigma} m) \overrightarrow{\mathbf{v}}$ в направлении касательной к траектории центра $G$ и к главному моменту количеств движения, которнй мы обозначим через $\mathbf{H}$, причем последний имеет характер свободного вектора.
В момент $t+\delta t$ мы имеем количество движения системы
\[
(\Sigma m)(\overline{\mathbf{v}}+\delta \overline{\mathbf{v}})
\]

вдоль касательной в точке $G^{\prime}$ нового положения центра масс и свободный вектор, момент количеств движения системы $\mathbf{H}+\delta \mathbf{H}$. Расстояние точки $G$ от касательной в $G^{\prime}$ будет количеством второго порядка, а потому при вычислении моментов относительно $G$ члены, зависящие от количества движения системы в момент времени $t+\delta t$ при составлении момента относительно $G$ будут в пределе давать количества втоporo порядка. При вычислении изменения момента количеств движения системы мы можем ограничиться поэтому рассмотрением $\delta \mathrm{H}$, но мы уже видели, что Н зависит только от относительного движения.

Аналитическое выражение момента количеств движения системы относительно оси $O x$ следующее [см. равенство (2) § 31]:
\[
\sum(m)\left(\bar{y} \frac{d \bar{z}}{d t}-\bar{z} \frac{a^{\prime} \bar{y}}{d t}\right)+\sum\{m(\beta \dot{\gamma}-\dot{\beta} \gamma)\} .
\]

Диференцируя по $t$, мы получаем:
\[
\sum(m)\left(\bar{y} \frac{d^{2} \bar{z}}{d t^{2}}-\bar{z} \frac{d^{2} \bar{y}}{d t^{2}}\right)+\frac{d}{d t} \sum\left\{m\left(\beta_{\gamma}^{\dot{\gamma}}-\dot{\beta}_{\gamma}\right)\right\} .
\]

При $\bar{y}=0$ и $\bar{z}=0$ это выражение сводится только ко второму члену. ${ }^{y}$ равнения (4) могут быть, следовагельно, заменены следующими:
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \sum m(\beta \dot{\gamma}-\gamma \dot{\beta})=L, \quad \frac{d}{d t} \sum m(\gamma \dot{\alpha}-\alpha \dot{\gamma})=M, \\
\frac{d}{d t} \sum m\left(\alpha^{\dot{s}}-\beta \dot{\alpha}\right)=N,
\end{array}\right\}
\]

при условии, что $L, M$ и $N$ обозначают моменты внешних сил относительно осей, проходящих через $G$ и параллельных осям координат.

Пример 1. Однородный стержень вращается вокруг вертикали, проходящени через его верхний конец, сохраняя с нею постоянный угол $\theta$ наподобие конического маятника. Найти необходимую для этого угловую скорость $\omega$.

Решение вытекает самьм простым образом из принципа Даламбера. Если $\mu$ есть линейная плотность, то на элемевт длины $8 x$ стержня на расстоянии $x$ от верхнего конца $O$ действует эффективная сила по направлению к вөртикали, проходящей через $O$, равная
\[
\mu \partial x \cdot \omega^{2} x \sin \theta .
\]

При длине $l$ стержня момент силы тяжести равен
\[
M \lg \cdot \frac{1}{2} l \sin \theta .
\]

Момент же эффективной силы относительно $O$ равен
\[
\mu \hat{0} x \cdot \omega^{2} x \sin \theta \cdot x \cos \theta .
\]

Следовательно,
\[
\mu \omega^{2} \sin \theta \cos \theta \int_{0}^{l} x^{2} d x=\frac{1}{2} \mu g l^{2} \sin \theta,
\]

откуда
\[
\omega^{2}=\frac{3}{2} \frac{g}{l \cos \theta} .
\]

Пример 2. Тело произвольной формы вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс $G$, с постоянной угловой скоростью $\omega$ с составляющими $p, q, r$ относительно главных осей инерции в точке $G$. Найти реакции подшипников.

Если $P N$ (фиг. 26) есть перпендикуляр, опущенный из точки с массой $m$ и координатами $(x, y, z)$ на ось вращения, то эффективная сила, действующая на эту точку, равна:
\[
m^{2} P N \text {. }
\]

Так кан
\[
O N=\frac{p x+q y+r z}{\omega},
\]

то составляющие этой эффективной салы будут равны соответственно:
\[
\left.\begin{array}{c}
m\left\{p(p x+q y+r z)-\omega^{2} x\right\}, \quad m\left\{q(p x+q y+r z)-\omega^{2} y\right\}, \\
m\left\{r(p x+q y+r z)-\omega^{2} z\right\} .
\end{array}\right\}
\]

Вследствие того, что
\[
\Sigma(m x)=0, \quad \boldsymbol{\Sigma}(m y)=0, \quad \boldsymbol{\Sigma}(m z)=0,
\]

вся система эффективных сил приводится к однон паре. Момент этой пары, например; относительно оси $O x$ равен в обычных обозначения:
\[
\sum\left\{m(r y-q z)(p x+q y+r z)=\sum\left\{m\left(y^{2}-z^{2}\right)\right\} q r=(C-B) q r,\right.
\]

так как на основании свойтв главных осей имеем:
\[
\Sigma(m y z)=0, \quad \boldsymbol{\Sigma}(m z x)=0, \quad \boldsymbol{\Sigma}(m x y)=0 .
\]

Таким образом действие тела на подшипники приводится к паре с „центробежным моментом\”, составляющие которого равны:
\[
(B-C) q r, \quad(C-A) r p, \quad(A-B) p q .
\]

Эти выражения при $A
eq B
eq C$ будүт равны нулю только в том случае, когда ось вращения совпадает с одной из главных осей.

Плоскость указанной пары есть плоскость мгновенной оси вращення и оси момента количеств движения тела (§30).

Эта плоскость неизменно связана с телом и вращается совместно с ним. Таким образом опоры испытывают действие периодических напряжений. Это действие, иногда опасное, заметно в механизмах плохо „уравновешенных“.