Обозначим через $C$ одну из двух точек, в которых ось махсвого колеса пересекает сферу с единичным радиусом, описанную около неподвижной точки $O$. Для большей определенности из двух точек выберем ту, для которой вращение $n$ около направления $OC$ будет положительным (правым). Точку $C$ можно назвать „олюсом“ гироскопа. Нас будет интересовать главным образом путь, описываемый этой точкой.

Из точки $C$ на единичной сфере (фиг. 44) проведем четверть большого круга $CA$, касательного к траектории $C$ на сфере в направлении движения. Затем из точки же $C$ под прямым углом к первому проводим второй большой круг $CB$ и в таком направлении, чтобы оси $OA,OB$ и $OC$ (в указанном порядке) образовали правую систему. Через промежуток времени $\delta t$ определяем положения $O{A}^{\prime },O{B}^{\prime },O{C}^{\prime }$ этих осей ${}^1$ ).

Пусть $v$-скорость движения полюса по его траектории на сфере, а $\delta \chi$ — угол между двумя проекциями на касательную плоскость к сфере двух последовательных соседних касательных к траектории.
Мы имеем:
$$C{C}^{\prime }=v\delta t,A{C}^{\prime }{A}^{\prime }=\delta \mathrm{\%}.$$

В момент $t$ угловые скорости вокруг $OA$, $OB,OC$ соответственно равны $0,v,n$, и, следовательно, моменты количеств движения относительно этих осей будут равны:
$$0,Av,Cn\text{. }$$
Фиг. 44.
За промежуток времени $\delta t$ они изменятся и, отнесенные теперь к осям $A{A}^{\prime },O{B}^{\prime },O{C}^{\prime }$, будут равны
$$0,A(v+\delta v),C(n+\delta n).$$

По отношению же к старым осям $OA,OB,OC$ они будут равны
$$-Av\delta \mathrm{\%}+Cnv\delta t,A(v+\delta v),C(n+\delta n),$$

причем членами второго порядка мы пренебрегаем. Если, как мы предполагаем, внешние силы имеют равный нулю момент относительно оси симметрии, то эти силы будут эквивалентны двум силам $P$ и $Q$, приложенным в точке $C$, из которых $P$ направлена по касательной к траектории точки, т. е. к дуге $CA$, а $Q$ в нормальном направлении, т. е. вдоль касательной к дуге $CB$. Сила $P$ по величине действительно рявна моменту внешних сил относительно $OB$, а $-Q$ моменту относительно $OA$. Таким образом, приравнивая приращения моментов количеств движения соответственно
$$-Q\delta t,P\hat{\delta }t,0,$$

мы нан̆дем, при $n=$ const. следующие уравнения:
$$Av\frac{d\chi }{dt}=Q+Cnv,A\frac{d{v}_1}{dt}=P.$$
1) На чертеже внесено упрощение в виде предположения, что $C^{\prime }$ лежит на дуге $CA$. Вносимая погрешность, влияющая и на положение точек $A^{\prime }$ и $B^{\prime }$, второго порядка малости, а потому на конечный результат не влияет.

Эти уравнения можно назвать уравнениями в „естественных координатах“, так как они отнесены непосредственно к траектории, а не к произвольным координатным осям или плоскостям.

Выражения $\frac{dv}{dt}$ и $v\frac{dy}{dt}$ представляют ускорения полюса $C$ вдоль его траектории и в нормальном к ней направлении на сфере ( $\mathrm{\S }36$ ). Полагая $n=0$, мы получаем как частный случай уравнение движения материальной точки на сфере. Мы заключаем отсюда, что движение полюса $C$ будет совершенно такое же, как и движение на сфере материальной точки, имеющей массу $A$ и подчиненной денствию тех же сил $P$ и $Q$ и третьей „фиктивной отклоняющей силы Cnv. Отклонение, производимое ею, будет всегда влево от траектории, если смотреть на последнюю извне сферы.

Например в прецессионном движении полюс описывает окружность на сфере с единичным радиусом с постоянной угловой скоростью $\dot{\psi }$. Если $\theta$-угловой радиус этой окружности, то ускорение точки $C$, направленное к центру окружности, будет равно $\frac{v^2}{\sin \theta }$, а ускорение, нормальное к траектории в касательной плоскости, равно поэтому $v^2\mathrm{ctg}\theta$. Следоватедьно, при отсутствии внешних сил имеем:
$$A{v}^2\mathrm{ctg}\theta =Cnv,$$

а так как $v=\dot{\psi }\sin \theta$, то
$$\dot{\psi }=\frac{Cn}{A\cos \theta }.$$

Это обычная формула для нутации Эйлера (§ 4
Как уже было отмечено, эта же формула приӧлиженно приложима и к случаю ,скорой“ прецессии волчка с больною угловою скоростью вращения.

В случае „медленнон“ прецессии волчка, мы можем пренебречь ускорением точки $C$, которая имеет порядок величины $v^2$, и приравнять отклоняющую силу $\mathrm{Cn}\psi \sin \theta$ эффективной составляющей силы тяжести, т. е. $M_{0}gh\sin \theta$. Таким образом:
$$\dot{\psi }=\frac{M_{0}gh}{Cn},$$

как и в § 54.
Точные формулы для установившегося движения волчка, обнимающие оба случая, следующие:
$$A{v}^2\mathrm{ctg}\theta =-M_{0}gh\sin \theta +Cnv$$

หин
$$A{\dot{\psi }}^2\sin \theta \cos \theta =-M_{0}gh\sin \theta +Cn\dot{\psi }\sin \theta$$

в согласии с равенством (5) § 54 .