Обозначим через $C$ одну из двух точек, в которых ось махсвого колеса пересекает сферу с единичным радиусом, описанную около неподвижной точки $O$. Для большей определенности из двух точек выберем ту, для которой вращение $n$ около направления $O C$ будет положительным (правым). Точку $C$ можно назвать „олюсом“ гироскопа. Нас будет интересовать главным образом путь, описываемый этой точкой.

Из точки $C$ на единичной сфере (фиг. 44) проведем четверть большого круга $C A$, касательного к траектории $C$ на сфере в направлении движения. Затем из точки же $C$ под прямым углом к первому проводим второй большой круг $C B$ и в таком направлении, чтобы оси $O A, O B$ и $O C$ (в указанном порядке) образовали правую систему. Через промежуток времени $\delta t$ определяем положения $O A^{\prime}, O B^{\prime}, O C^{\prime}$ этих осей ${ }^{1}$ ).

Пусть $v$-скорость движения полюса по его траектории на сфере, а $\delta \chi$ – угол между двумя проекциями на касательную плоскость к сфере двух последовательных соседних касательных к траектории.
Мы имеем:
\[
C C^{\prime}=v \delta t, \quad A C^{\prime} A^{\prime}=\delta \% .
\]

В момент $t$ угловые скорости вокруг $O A$, $O B, O C$ соответственно равны $0, v, n$, и, следовательно, моменты количеств движения относительно этих осей будут равны:
\[
0, A v, C n \text {. }
\]
Фиг. 44.
За промежуток времени $\delta t$ они изменятся и, отнесенные теперь к осям $A A^{\prime}, O B^{\prime}, O C^{\prime}$, будут равны
\[
0, A(v+\delta v), \quad C(n+\delta n) .
\]

По отношению же к старым осям $O A, O B, O C$ они будут равны
\[
-A v \delta \%+C n v \delta t, \quad A(v+\delta v), \quad C(n+\delta n),
\]

причем членами второго порядка мы пренебрегаем. Если, как мы предполагаем, внешние силы имеют равный нулю момент относительно оси симметрии, то эти силы будут эквивалентны двум силам $P$ и $Q$, приложенным в точке $C$, из которых $P$ направлена по касательной к траектории точки, т. е. к дуге $C A$, а $Q$ в нормальном направлении, т. е. вдоль касательной к дуге $C B$. Сила $P$ по величине действительно рявна моменту внешних сил относительно $O B$, а $-Q$ моменту относительно $O A$. Таким образом, приравнивая приращения моментов количеств движения соответственно
\[
-Q \delta t, \quad P \hat{\delta} t, \quad 0,
\]

мы нан̆дем, при $n=$ const. следующие уравнения:
\[
A v \frac{d \chi}{d t}=Q+C n v, \quad A \frac{d v_{1}}{d t}=P .
\]
1) На чертеже внесено упрощение в виде предположения, что $C^{\prime}$ лежит на дуге $C A$. Вносимая погрешность, влияющая и на положение точек $A^{\prime}$ и $B^{\prime}$, второго порядка малости, а потому на конечный результат не влияет.

Эти уравнения можно назвать уравнениями в „естественных координатах“, так как они отнесены непосредственно к траектории, а не к произвольным координатным осям или плоскостям.

Выражения $\frac{d v}{d t}$ и $v \frac{d y}{d t}$ представляют ускорения полюса $C$ вдоль его траектории и в нормальном к ней направлении на сфере ( $\S 36$ ). Полагая $n=0$, мы получаем как частный случай уравнение движения материальной точки на сфере. Мы заключаем отсюда, что движение полюса $C$ будет совершенно такое же, как и движение на сфере материальной точки, имеющей массу $A$ и подчиненной денствию тех же сил $P$ и $Q$ и третьей „фиктивной отклоняющей силы Cnv. Отклонение, производимое ею, будет всегда влево от траектории, если смотреть на последнюю извне сферы.

Например в прецессионном движении полюс описывает окружность на сфере с единичным радиусом с постоянной угловой скоростью $\dot{\psi}$. Если $\theta$-угловой радиус этой окружности, то ускорение точки $C$, направленное к центру окружности, будет равно $\frac{v^{2}}{\sin \theta}$, а ускорение, нормальное к траектории в касательной плоскости, равно поэтому $v^{2} \operatorname{ctg} \theta$. Следоватедьно, при отсутствии внешних сил имеем:
\[
A v^{2} \operatorname{ctg} \theta=C n v,
\]

а так как $v=\dot{\psi} \sin \theta$, то
\[
\dot{\psi}=\frac{C n}{A \cos \theta} .
\]

Это обычная формула для нутации Эйлера (§ 4
Как уже было отмечено, эта же формула приӧлиженно приложима и к случаю ,скорой“ прецессии волчка с больною угловою скоростью вращения.

В случае „медленнон“ прецессии волчка, мы можем пренебречь ускорением точки $C$, которая имеет порядок величины $v^{2}$, и приравнять отклоняющую силу $\operatorname{Cn} \psi \sin \theta$ эффективной составляющей силы тяжести, т. е. $M_{0} g h \sin \theta$. Таким образом:
\[
\dot{\psi}=\frac{M_{0} g h}{C n},
\]

как и в § 54.
Точные формулы для установившегося движения волчка, обнимающие оба случая, следующие:
\[
A v^{2} \operatorname{ctg} \theta=-M_{0} g h \sin \theta+C n v
\]

หин
\[
A \dot{\psi}^{2} \sin \theta \cos \theta=-M_{0} g h \sin \theta+C n \dot{\psi} \sin \theta
\]

в согласии с равенством (5) § 54 .