Далее, мы должны различать два направления, в которых может происходить вращение вокруг данной оси.
Пусть $O$ и $A$-две любые точки на оси вращения; мы будем считать вращение положительным вокруг $O A$, если его можно связать с направлением от $O$ к $A$ так же, как поворот винта с правым ходом связан с поступательным перемещением. Вращение в обратном направлении мы будем считать отрицательным. Так, если мы обозначим через $N$ и $S$ северный и южный полюсы Земли, то суточное движение можно рассматривать, как положительное вокруг $S N$ и как отрицательное вокруг $N S$.
Для того чтобы получить результат сложения двух вращении: одного на угол $\alpha$ вокруг оси $O A$ и затем последующего вращения на угол $\beta$ вокруг оси $O B$, можно сделать следующее построение, повидимому, данное впервые $O$. Родрнгом (O. Rodrigues, 1840) 2).
1) Случай, когда точки $C$ и $A$ совпадают, может рассматриваться как предельный случай, при котором ось вращения делит дугу $A B$ пополам, а угол поворота равен $\pi$.
Если $A$ и $B$-диаметраяьно противоположные точки на сфере, то построение делается неопределенным. В таком случае вместо $A$ следует выбрать другую точку тела.
2) Оно было впоследствии приведено Сильвестром (Sy1vester, Ph1. Mag. (3) т. XXXVll, 1850) и Гамильтоном (H $\mathrm{H}$ milt o n, Lectures on Quaternions, 1853, (cтp. 332).
Обозначим через $A$ и $B$ точки, в которых соответствующие оси вращения пересекают неподвижную сферическую поверхность с центром в точке $O$. На дуге $A B$ строим сферические треугольники $A C B$ и $A C^{\prime} B$, каждый из которых имеет: угол, равный $\frac{1}{2} \alpha$, при $A$ и угол, равный $\frac{1}{2} \beta$, при $B$.
Из чертежа (фиг. 2) ясно, что вращение на угол $\alpha$ вокруг оси $O A$ переместит точку тела, находившуюся в $C$, в положение $C^{\prime}$, а последующее затем вращение на угол $\beta$ вокруг оси $O B$ приведет ее обратно в положение $C$. Следовательно, $O C$ есть ось вращения, которое само
Фиг. \&.
Фиг. 3.
равносильно двум предыдущим вращениям. Заметим при этом, что если бы мы изменили порядок вращений вокруг $O A$ и $O B$, то в результате мы получили бы эквивалентное им вращение вокруг оси $O C^{\prime}$. Мы имеем здесь пример двух опєраций, не удовлетворяющих закону коммутативности (переместительности).
Чтобы найти угол конечного поворота вокруг оси $O C$, мы по другую сторону $B C$ (фиг. 3) строим треугольник $A^{\prime} B C$, равный треугольнику $A B C$ и симметрично расположенный. Вращение вокруг $O A$ оставляет. точку, совладающую в начале с $A$, в покое, а вращение вокруг $O B$ приводит ее в положение $A^{\prime}$. Следовательно, искомый угол равен $A C A^{\prime}$, т. е. $2(\pi-C)$, а так как поворот на четыре прямых угла $(2 \pi)$ не изменяет. положения тела, то вращение равносильно повороту на угол $-2 C$.
Мы получаем следующую теорему, впервые сформулированную в 1844 г. Гамильтоном ${ }^{1}$ ). Если $A B C$ – произвольный сферический треугольник на сфере с центром в $O$, то три последовательных вращения вокруг осей $O A, O B$ и $O C$ с соответствующими углами поворота $2 A$, $2 B$ и $2 C$ в направлении, обратном порядку букв $A, B, C$, приведут тело в его первоначальное положение.
1) W. R. Hamilton (1805-1861), ирландский астроном (1827-1865). См. его -Lectures on Quaternions\”, cтp. 334.
