Метод вращающихся осей удобен также в задачах, относящихся к качению или вращению твердых тел на неподвижных поверхностях. Этим вопросам уделялось большое внимание математиками в разное время. Это происходило не потому, что рассматриваемые явления, хотя они являются обыкновенными и часто интересными, считались особенно важными; скорее считалось вопросом ; репутации показать, какую можно дать математическую формулировку, даже если решение оказывалось непрактичным или трудным для интерпретации.

Задачи такого рода, рассматривавшиеся чаще всего, относились, конечно, к случаю установившегося (стационарного) движения или малых колебаний около такого движения. Мы сећчас приступим к рассмотрению нескольких наиболее простых примеров.

Мы рассмотрим сперва установившееся (стационарное) движение тяжелого однородного шара, катящегося по поверхности вращения, ось которой вертикальна.

Мы примем правую систему осей координат, которые пусть проходят через центр $G$ (фиг. 56), причем ось $Gz$ нормальна к неподвижной поверхности, $Gx$ расположена в вертикальной плоскости, проходящей через $Qz$, а ось $Gy$ горизонтальна. Пусть а означает радиус шара, $c$-радиус горизонтального круга, описываемого по нашему предположению точкой $G,\dot{\psi }$ — угловую скорость на этом круге, $\theta$ — постоянный угол наклона оси $Gz$ к вегтикали, направленной вверх.

Пусть ( $X,Y,Z$ ) будет реакцией в точке соприкосновения. Так как ускорение точки $G$ имеет величину $c{\zeta }^2$ и направлено к центру горизонтального круга, то
$$\begin{array}{l}X=-Mg\sin \theta +Mc{\dot{\psi }}^2\cos \theta ,\\ Y=0,\\ Z=Mg\cos \theta +Mc{\psi }^2\sin \theta .\end{array}\}$$

Так как наши оси вращаются около вертикальной оси с угловой скоростью $\psi$, то мы имеем:
$$p^{\prime }=-\dot{\psi }\sin \theta ,q^{\prime }=0,r^{\prime }=\dot{\psi }\cos \theta .$$

Если ( $p,q,r)$ — угловая скорость самого шара, то мы имеем кинематические соотношения:
$$ap=c\dot{\psi },q=0.$$

Составляющие момента количеств движения будут:
$$\lambda =Ip,\mu =0,u=Ir,$$

где $I$ означает момент инерции относительно диаметра. Уравнения (8) $\mathrm{\S }63$ теперь сведутся к таким:
$$\frac{d\lambda }{dt}=Ya=0,-p^{\prime }u+r^{\prime }\lambda =-Xa,\frac{dv}{dt}=0.$$

Первое из этих уравнений уже удовлетворено, так как мы предположили, что величина $\psi$ постоянна. Третье уравнение показывает, что $r=$ const., $=n$, например. Второе уравнение приводится к такому:
$$(I+M{a}^2)\frac{c}{a}{\dot{\psi }}^2\cos \theta +In\psi \sin \theta -Mga\sin \theta =0,$$

которое и выражает требуемое условие стационарности движения.
Для данных значений $c,\theta$ и $n$ возможны два значения $\psi$ разной величины. Движение необратимо до тех пор, пока не будет обращено также и вращение.

Предыдущее исследование применимо, как показывает фиг. 56, к случаю качения шара внутри вогнутой поверхности; если оба значения $\psi$ действительны, то они имеют противоположные знаки. Чтобы можно было применить те же уравнения к случаю качения шара по выпуклой поверхности, мы должны изменить знаки у $c$ и $\psi$ на обратные.