В § 5 было показано, что наиболее общее перемещение твердого тела равносильно вращению вокруг определенной оси и поступательному движению в направлении, параллельном этой оси. Оно может быть, следовательно, охарактеризовано, как движение гайки по нексторому винту. Год словом \”винт“ мы понимаем здесь только геометрическую форму, характеризующую тип перемещения, но не величину какого-нибудь частного перемещения.

Винт становится вполне определенным только, когда известны ось вращения и отношение поступательного перемещения к углу поворота. Это отношение, называемое \”параметром\” винта, имеет размерность длины и считается положительным или отрицательным в соответствии с тем, является ли поворот относительно вектора постунательного перемещения правым или левым (§3). Когда известны ось и параметр винта, то величина перемещения определяется углом поворота, который может быть положительным или отрицательным в соответствии с принятым условным определением направлении.

Сложение вращений около осей, лежащих в одной плоскости, уже нами рассмотрено. Мы исследуем перемещение, равносильное вращениям $p$ и $q$ вокруг скрещивающихся осей.

Пусть $\omega$ есть вращение, равносильное вращениям $p$ и $q$ вокруг двух осей, пересекающихся между собою и параллельных данным осям. Далее пусть $\alpha$
1) На чертеже $p$ и $q$ имеют один и тот же знак, но доказательство являегся общим.

и $\beta$ суть углы, которые составляют оги $p$ и $q$ с ваправлением с) (значения ш $\alpha, \beta$ определяются вспомогательным построением). Наконец, пусть $A B-$ кратчайшее расстояние между данными осями. Проведем через $A B$ плоскость, параллельную оси ю. Вращение $p$ в точке $A$ может быть разложено на два: одно $p \cos \alpha$ в этой плоскости и другое $p \sin \alpha$, перпендикулярное к ней. Вращение $q$ разлагается также на два составляющих вращения $q \cos \beta$ и $q \sin \beta$. Составляющие $p \sin \alpha$ и $q \sin \beta$ равны по вели-
Фиг. 14.

чине, но обратны по направлению; они, следовательно, равносильны поступательному перемещению $\tau$, параллельному оси $\omega$,
\[
\tau=p \sin \alpha \cdot A B=q \sin \beta \cdot A B .
\]

Составляющие же $p \cos \alpha$ и $q \cos \beta$ эквиваленгны вращению
\[
\omega=p \cos \alpha+q \cos \beta
\]

вокруг параллельной оси, проходящей через точку $O$ на прямой $A B^{1}$ ) и удовлетворяющей равенству
\[
p \cos \alpha \cdot A O=q \cos \beta \cdot O B
\]

Мы, таким образом, определили ось эквивалентного винтового перемещения и величины $\tau$ и ш, т. е. поступательное пєрэмещение и угол поворота. Из равенств (2) и (3) мы выводим:
\[
\frac{p \cos \alpha}{O B}=\frac{q \cos \beta}{A O}=\frac{\omega}{A B} .
\]

Іараметр винта, по которому происходит перемещение, равен, следовательне,
\[
\tilde{\omega}=\frac{\tau}{\omega}=O B \operatorname{tg} \alpha=A O \operatorname{tg} \beta,
\]

откуда
\[
\tilde{\omega}=\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)} \cdot A B .
\]
1) На чергеже оба угла $\alpha$ и $\beta$ острые. Если один из этих двух углов тупой, то точка $O$ будет лежать на продолжении отрезка $A B$ в ту или другую сторону.

С другой стороны, из предшествующего исследования ясно, что всякое бесконечно малое перемещение твердого тела может быть разложено на два вращения бесконечным числом способов. Мы можем показать также, что одна из осей вращения (но не величина вращения) может быть выбрана при этом совершенно произвольным образом.

Предположим, например, что на предшествующем чертеже заранее дана ось вращения $p$. Строим кратчайшее расстояние $A O$ между этой осью и данной осью винтового перемещения. Количества $\omega, \tau, \alpha$ и величина отрезка $A O$ известны. Требуется найти положение точки $B$, угол $\beta$ и вращения $p$ и $q$. Значения $O B$ и $\beta$ даны равенствами (5), значения же $p$ и $q$ мы нандем из равенств (4).

Ясно, чтө разложение винтового перемещения на два вращения с одной произвольной осью возможно, так как если одна из осей, например ось вращения $p$, нам дана, то мы все еще имеем в нашем распоряжении шесть элементов, а именно: четыре количества, необходимые для определения направления оси вращения $q$, и два значения величин $p$ и $q$.

Две прямые, связаннье между собою вышеуказанным способом относительно заданного винта, называются \”сопряженными “. Заметим, что ортогональные проекции двух сопряженных прямых на плоскость, нормальную к оси винта, параллельны между собою (фиг. 14).
Наконец, на основании равенств (1) и (2) имеем:
\[
p q \sin (\alpha+\beta) \cdot A B=p \sin \alpha \cdot A B \cdot q \cos \beta+q \sin \beta \cdot A B \cdot p \cos \alpha=\omega \tau .
\]

Выражение в левой части равенства представляет собою ушестеренный объем тетраэдра, противоположные ребра которого построены на осях вращений $p$ и $q$, а длины этих ребер пропорциональны количествам $p$ и $q$.

Есди оба вращения изображены, как это было указано выше, скользяциими векторами HK и LM, то из равенства (7) следует, что объем тетраэдра с противолежащими ребрами $H K$ и $L M$ остается постоянным и пропорциональным $\omega \tau$, как бы мы ни разложили винтовое перемещение на два вращения.