1. Доказать, что в пространственной ферме с $n$ шарнирными узлами минимальное число стержней, необходимое для жесткости фермы, равно $3 n-6$, и что существует по крайней мере один узел, в котором сходится не более пяти стержней.

Доказать, что ферма из связанных шарнирами стержней, направленных по ребрам многогранника с треугольными гранями, представляет собою жесткую систему без лишних стержней.
2. Тело испытывает поворот на $90^{\circ}$ вокруг каждой из двух осей, пересекающихся под углом в $60^{\circ}$. Найти ось и угол равносильного им одного поворота (угол равен $104^{\circ} 28^{\prime}$ ).
3. Доказать, что, если труба универсального инструмента повернута на угол $\alpha$ по высоте и на угол $\beta$ по азимуту, то угол $\varphi$ поворота трубы определяется равенством
\[
\cos \frac{\varphi}{2}=\cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\beta}{2} .
\]

Показать также, что высота $\theta$ оси результирующего поворота определяется равенством:
\[
\cos \theta=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\varphi}{2}} .
\]
4. Пусть $O A$ и $O B$ – оси, неизменно связанные с твердым телом и движущиеся вместе с ним. Доказать, что поворот $2 A$ вокруг $O A$ с последующим поворотом $2 B$ вокруг $O B$ равносильны повороту на угол $-2 C^{\prime}$ вокруг оси $O C^{\prime}$. Предполагается, что $O C^{\prime}$ расположена относительно первоначального положения осей $O A$ и $O B$ так, как указано на фиг. 2.
5. Показать, что последовательные полуобороты вокруг трех взаимно перпендикулярных осей приведут тело в его начальное положение.
6. Доказать, что последовательные полуобороты около двух скрещивающихся, но не пересекающихся осей, наклоненных друг к другу под прямым углом, равносильны одному полуобороту около оси, направленной вдоль кратчайшего расстояния между ними, и поступательному перемещению на расстояние равное двойной длине этого кратчайшего расстояния.
7. Вывести теорему Донкина (§ 4) из теории полуоборотов Бернсайда (Burnside).
8. На сфере дан сферический многоугольник $A B C \ldots R$. Доказать, что последовательные повороты сферы вокруг ее центра $O$, представляемые дугами АВ, $\mathrm{BC}, \ldots$,.. КА будут равносильны одному повороту вокруг $O A$ на угол, пропорциональный площади многоугольника.
[Гамильтон.].
9. Сохраняя обозначения предыдущего упражнения, показать, что последовательные повороты, представляемые удвоенными дугами АВ, ВС,.., ҚА, приведут тело в начальное его положение.
[Гамильтон.].
10. Показать, что при тех же обозначениях, последовательные повороты вокруг осей $O A, O B, O C, \ldots, O K$ на удвоенные углы $A, B, C, \ldots, K$ многоугольника приводят тело в начальное положение.
[Гамильтон].
11. Вывести правило сложения полуоборотов около пересекающихся осей из построения О. Родрига (§ 3).
12. Исследовать вывод теоремы Родрига (§3) в случае, когда оба поворота $\alpha$ и $\beta$ имеют противоположные знаки.
13. Показать, принимая закон Листинга (§ 4), что если глазное яблоко вращается вокруг определенной постоянной оси, то ось зрения описывает на сферическом поле зрения дугу окружности, которая проходит через точку диаметрально противоположную точке начального положения.
14. Показать, что если из неподвижной точки $O$ провести векторы, изображающие перемещения отдельных точек твердого тела, то все концы этих векторов будут лежать на некоторой плоскости.
15. Доказать, что отрезок прямой $A B$ данной длины может быть приведен в любое положение $A^{\prime} B^{\prime}$ поворотом вокруг некоторой оси и что, следовательно, всякое перемещение твердого тела может быть получено двумя определенными вращениями.
16. Доказать, исходя из теорем полуоборотов, или каким-либо иным способом, что всякое перемещение твердого тела может быть сведено к двум вращениям, причем ось одного вращения может быть выбрана произвольно.
17. Предположим, что при некотором перемещении твердого тела точка, находившаяся в положении $A$, перешла в положение $B$, а точка, бывшая в $B$, перешла в $C$, наконец, точка, находившаяся в $C$, переместилась в положение $D$. Пусть $H K$ – кратчайшее расстояние между биссектрисами плоских углов $A B C$ и $B C D$. Показать, что перемещение тела равносильно поступательному перемещению $H K$ и повороту около $H K$ на угол, равный углу между $B H$ и $C K$.
[Крофтон.]
18. Пусть даны начальные положения $A, B, C$ трех точек и соответственно их конечные положения $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$. Построить равносильное перемещение.
19. Доказать следующее построение для определения результата двух винтовых перемещений вокруг осей $a$ и $b$.

Пусть $A B$ – кратчайшее расстояние между этими осями, $P Q$-отрезок, перпендикулярный к осн $a$ и такой, что половина заданного винтового перемещения около а приводит $P Q$ в положение $A B$. Пусть также $R S$ – отрезок, перпендикулярный к оси $b$ и такой, что половина заданного винтового перемещения около $b$ приводит $A B$ в положение $R S$. Пусть далее $Q S-$ кратчайшее расстояние между $P Q$ и $R S$. В таком случае $Q S$ является осью результирующего винтового перемещения. Поступательое перемещение равно $2 Q S$, а угол поворота равен удвоенному углу между $R S$ и $P Q$.
[Бернсайд.]
20. Твердое тело поворачивается на угол $\theta$ около оси, проходящей через начало координат и имеющей направление $(l, m, n)$. Пусть $P$ и $P^{\prime}$ – начальное и конечное положения какой-либо точки, а $Q$ – середина отрезка $P P^{\prime}$ с координатами $\xi, \eta, \zeta$. Доказать, что направляющие косинусы $P P^{\prime}$ будут соответственно равны
\[
\frac{m_{6}^{*}-n_{\eta}}{Q N}, \frac{n_{\xi}-l_{\xi}}{Q N}, \frac{l \eta-m_{\xi}^{\xi}}{Q N},
\]

тде $Q N$ есть длина перпендикуляра, опущенного из $Q$ на ось вращения.
Если $x, y, z$-координаты $P$, а $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ – координаты $P^{\prime}$, то доказать, что
\[
x^{\prime}-x=2\left(\mu_{\zeta}-\eta_{\eta}\right), y^{\prime}-y=2(
u \xi-\lambda \zeta), z^{\prime}-z=2(\lambda \eta-\mu \xi),
\]

где
\[
\lambda=l \operatorname{tg} \frac{\theta}{2} ; \quad \mu=m \operatorname{tg} \frac{\theta}{2}, \quad
u=n \operatorname{tg} \frac{\theta}{2} .
\]
21. Вывести уравнения:
\[
\begin{aligned}
x^{\prime}+
u y^{\prime}-\mu z^{\prime} & =x-
u y+\mu z, \\
y^{\prime}+\lambda z^{\prime}-v x^{\prime} & =y-\lambda z+
u x, \\
z^{\prime}+\mu x^{\prime}-\lambda y^{\prime} & =z-\mu x+\lambda y, \\
\lambda x^{\prime}+\mu y^{\prime}+
u z^{\prime} & =\lambda x+\mu y+
u z,
\end{aligned}
\]

и доказать, что значения $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ могут быть выражены посредством $x, y, z$ при помощи следующей схемы, в которой $\rho^{2}=1+\lambda^{2}+\mu^{2}+
u^{2}$ :
[О. Родриг. Метод принадлежит Дарбу.]
Зак.-1259. Л а м б. Теоретическая механики.