Перемещение твердого тела вокруг одной его неподвижной точки было нами в предыдущем изложении определено осью и углом равносильного ему вращения.

Вращение около диаметра неподвижной сферы с радиусом, равным единице, может быть определено также дугой большого круга этой сферы в плоскости нормальной к оси вращения. Так, если $P$ и $Q$ суть две точки этого круга, а вращение перемещает точку тела из положения $P$ в положение $Q$, то это вращение может быть определено дугой $\mathrm{PQ}$. Важен, конечно, порядок букв $P$ и $Q$, положение же самой дуги $\mathrm{PQ}$ на окружности этого большого круга не существенно ${}^1$ ).

При этом соглашении имеем следующую теорему, найденную независимо друг от друга Донкиным ${}^2$ ) и Гамильтоном. Если Фиг. 4. $ABC$ — произвольный сферический треугольник, то три последовательных вращения, представляемые дугами $2\mathrm{BC},2\mathrm{CA}$ и $2\mathrm{AB}$, возвращают тело в его первоначальное положение. Рассмотрение полярного треугольника показывает, что эта теорема равносильна теореме конца § 3. Донкин (Donkin), однако, дал следующее прямое доказательство ${}^{\mathbf{8}}$ ).

Продолжим стороны треугольника $ABC$, как указано на чертеже (фиг. 4), так, чтобы
$$C_{2}B=BC=C{B}_3,A_{3}C=CA=A{C}_1,B_{1}A=AB=B{A}_2.$$

Треугольники $A{B}_1{C}_1,A_{2}B{C}_2,A_3{B}_{3}C$ равны и конгруэнтны друг другу и \»симметрично\» равны треугольнику $ABC$. Вращение $2\mathrm{BC}$ приведет треугольник $A_{2}B{C}_2$ в положение $A_3{B}_{3}C$, a вращение $2\mathrm{CA}$ приведет его затем в положение $A{B}_1{C}_1$. В результате же последующего вращения $2\mathrm{AB}$ треугольник возвратится в первоначальное положение $A_{2}B{C}_2$.

Из этого следует, что два последовательные вращения, представляемые двумя дугами больших кругов $AB$ и $BC$ (см. фиг. 5), равносильны вращению $2\mathrm{XY}$, где $X$ и $Y$ представляют собою, соответственно, середины дуг $\mathrm{AB}$ и $\mathrm{BC}$.
Фиг, 5.
1) Употребляемые в этом смысле дуги, обозначаемые нами прямыми латинскими буквами, имеют некоторую анакогию со скользящими векторами в плоскости, хотя, как показывает нижеследующая теорема, закон их сочетания иной
2) M. J. Donkin, профессор астрономии в Оксфорде (1842-1869). Теорема опубликована в $1850\mathrm{r}$.
в) Phil. Mag. (4), T. I, 1851.

С другой стороны, можно видеть, что три последовательные вращения, представляемые самими дугами $\mathrm{AB},\mathrm{BC}$ и. СА (не удвоенными), равносильны одному повороту вокруг оси $OA$ на угол, равный сферическому избытку треугольника $AB{C}^1$ ), ибо очевидно, что точка, находившаяся первоначально в положении $A$, в результате снова возвращается в начальное свое положение. Чтобы определить угол равносильного результирующего поворота, достаточно рассмотреть последовательные положения дуги, которая первоначально совпадала с дугою $AB$. Первое вращение (AB) совмещает ее с дугою $BX$ (фиг. 6), второе переносит ее в положение $CY$ таким образом, что угол $BCY$ равен углу $B$ сферического треугольника. Наконец, третье вращение приводит эту дугу в положение $AZ$, причем
$$ZAC=\pi -ACY=\pi -B-C.$$

Таким образом угол между конечным и начальным положением дуги равен
$$BAZ=A+B+C-\pi .$$

Теорема Донкина и Гамильтона имеет интересное применение к кинематике глаза. Движение глаза рассматривается относительно головы, которую мы можем считать неподвижной. С большой степенью точности можно сказать, что глаз вращается вокруг неподвижной точки $O$ и, поскольку речь идет о мускулах, приводящих его в движение, он имеет три степени свободы. Однако при его нормальной подвижности возможны только две степени свободы, так как положение глаза уже полностью определяется осью зрения, т. е. направлением прямой, соединяющей $O$ с той точкой зрительного поля, которая является объектом прямого зрения.

Это ограничение является существенным условием того, чтобы один и тот же предмет, видимый в том же положении относительно головы, вызывал раздражение всегда той же самой части ретины всякий раз, когда взгляд направлен на ту же точку предмета ${}^2$ ).

Закон, определяющий положение глазного яблока в зависимости от направления оси зрения, был формулирован Листингом (Listing, 1857). Различные положения этой оси могут быть определены точкой ее пересечения со сферической поверхностью произвольного радиуса и с центром в $O$. При этом существует определенное \»начальное\» положение $A$ этой оси ${}^3$ ), относительно которого ориентируются все остальные направления.

Упомянутый закон состоит в том, что когда ось зрения перемещается из \»начального“ положения $A$ в другое положение $P$, то перемещение глазного яблока равносильно повороту, представляемому дугою AP большого круга. Разумеется, само перемещение глаза не должно в точности совпадать с таким вращением, но на основании закона Дондера результат необходимо будет тот же, каковы бы ни были предшествовавшие положения глаза.
1) Hamilton, Lectures on Quaternions, стр. 335. Простое доказательство приводимое нами, принадлежит Ганкелю [Hankel (1847)].
2) Это условие известно, как закон Дондера [Donder (1847)].
3) Это то положение, которое принимает глаз, когда, стоя прямо с поднятой головой, мы смотрим на очень отдаленный предмет на горизонте, находящийся прямо впереди нас

Из этого следует, что переход из одного положения $P$ в другое $Q$ равносилен повороту $XY$, где $X$ и $Y$ являются соответственно серединами дуг $AP$ и $AQ$, так как перемещение может быть сведено к переходу из положения $P$ в положение $A$, а затем к переходу от $A$ к $Q$. Таким образом переход от $P$ к любому другому положению (к положению $Q$ или $R$ ) (фиг. 7) может быть представлен дугою большого круга, проходящего через $X$, т. е. равносилен повороту вокруг некоторой оси нормальной к $OX$. Прямая $OX$ называется поэтому „атропической прямой“ для положения $P$ (Гельмгольц).