Мы можем теперь показать, что пространственная система сил, действующих на твердое тело, в общем случае может быть приведена к одной силе, приложенной к любой заданной точке, и к паре.

Пусть $P$-любая сила системы. К любой точке $O$ приложим две равные по величине и обратные по направлению силы $P_{1}$ и $P_{4}$, из которых одна $P_{1}$ равна и параллельна $P$. Первоначальная сила $P$ равносильна таким образом силе $P_{1}$, приложенной к $O$, и паре, образованной силами $P$ и $P_{2}$. Поступая совершенно также и с каждой другой силой системы, мы в результате получаем систему сил, приложенных к одной точке $O$, имеющую одну равнодействующую $S$, и ряд пар, которые могут быть сложены в одну пару. Равнодействующая сила определится по величине и направлению как геометрическая сумма заданных сил. Плоскость равнодействующей пары будет параллельна нулевой плоскости точки $O$.

Если геометрическая сумма сил равна нулю, то система сводится или к одной паре, или она представляет систему уравновешивающихся сил.

Если система раньше уже была приведена к динаме, состоящей из силы $S$ и пары с моментом $G_{0}$, то силу $S$ мы можем перенести влюбую точку $O$, введя при этом пару сил с моментом $p S$, где $p$ есть расстояние точки $O$ до центральной оси. Эта пара лежит в плосқости $S$ и $p$. Произведя сложение пар, мы получим пару с моментом
\[
G=\sqrt{G_{0}^{2}+p^{2} S^{2}}
\]

Ось этой пары составит с центральной осью угол $\theta$, определяемый по формуле
\[
\operatorname{tg} \theta=\frac{p S}{G_{0}} .
\]

Когда система приведена к одной силе $S$, приложенной в точке $O$, и паре с моментом $G$, то сила и пара могут быть разложены на составляющие вдоль трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через точку $O$, а именно сила $S$ — на составляющие пө осям $P, Q, R$, а момент $G$ — на моменты $L, M, N$ относительно этих осей. Очевидно, что $P, Q, R$ суть суммы соответствующих осям составляющих первоначальных сил, а $M, N, L$ — суммы моментов первоначальных сил относительно тех же осей. В следующем § 19 это приведение будет выполнено аналитическим путем. Для равновесия необходимо, чтобы все шесть количеств $P, Q, R, L, M, N$ были павны нулю.

ПримеР 1. Силы, приложенные к вершинам тетраэдра в направленин перпендикуляров, опущенных на противолежацие грани, и пропорциональные площадям граней, находятся в равновесии. Пусть $O A B C$-какой-либо тетраэдр. Рассмотрим ортогональные проекции на плоскость $A B C$ перпендикуляров, опущенных из вершин $A B C$ на противолежащие грани тетраэдра. Эти проекции будут направлены по трем высотам треугольника $A B C$. Следовательно, прямая, проведенная через точку их пересечения нормально к плоскости $A B C$, пересечет направление трех сил и будет параллельна направлению четвертой силы.

Эта нормаль к $A B C^{\bullet}$ будет нулевой прямой относительно системы сил. В виду того, что можно провести-четыре такие нулевые прямые, которые не все параллельны одной плоскости, система не приводится к одной паре силКроме того, мы видели выше ( $\$ 17$ ), что геометрическая сумма сил равна нулю.

ПРиМЕР 2. Четыре силы, прнложенные кцентрам тяжести граней тетраэдра нормально к этим граням и пропорциональные их площадям будут в равновесии, если все четыре силы направлены или внуть тетраэдра, или наружу ${ }^{1}$ ).

Действительно, если $O^{\prime}, A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ суть центры тяжести граней, лежащих против вершин $O, A, B, C$, то заданные силы будут расположены относительно тетраәдра $O^{\prime} A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ так, как указано в предыдущем примере.