Наиболее общий вид, который могут принять уравнения малых колебаний динамической системы при введении членов, пропорциональных скоростям, будет:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}+B_{1 r} \dot{q}_{1}+B_{2 r} \dot{q}_{2}+\ldots+B_{n r} \dot{q}_{n}+\frac{\partial U}{\partial q_{r}}=Q_{r},
\]

где по предположению равенства $B_{r g}=B_{s r}$ уже не выполняются. Эти уравнения мы применим к циклическим и вращающимся системам, определив в каждом отдельном случае надлежаций вид функции $U$ (см. ниже). Если мы положим:
\[
\begin{array}{l}
b_{r s}=b_{s r}=\frac{1}{2}\left(B_{r s}^{\prime}+B_{s r}\right), \\
\beta_{r s}=-\beta_{s r}=\frac{1}{2}\left(B_{r s}-B_{s r}\right),
\end{array}
\]

то уравнения можно написать в виде:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}_{r}}+\beta_{1 r} \dot{q}_{1}+\beta_{2 r} \dot{q}_{2}+\ldots+\beta_{n r} \dot{q}_{n}+\frac{\partial U}{\partial q_{r}}=Q_{r},
\]

где $F$ имеет такой же вид, как и в (7) § 97.
Члены, происходящие от $F$, будут относиться к уже рассмотренному типу и, следовательно, могут быть причислены к классу, представляющему \”силы трения\” или „диссипативные силы“. Если уравнение (4) умножим на $\dot{q}_{r}$ и сложим результаты, полученные для всех уравнений, то найдем:
\[
\frac{d}{d t}(T+U)=-2 F+Q_{1} \dot{q}_{1}+Q_{2} \dot{q}_{2}+\ldots+Q_{n} \dot{q}_{n},
\]

так как на основании (3) члены, содержащие $\beta$, исчезнут.
С другой стороны, члены, содержащие $\beta$, такие же, какие встречаются в „циклических “ системах (\$84), и называются \”гироскопическими “1) членами. Чтобы установпть точное соответствие мы должны положить в (1) $U=V+K$, где $K$ означает кинетическую энергию только циклического (скрытого) движения. Точно так же символ $T$ должен быть заменен на символ $\mathfrak{T}$, означающий ту кинетическую энергию, которая останется, если циклическое движение исчезнет.

Уравнения того же типа примєняются также и к случаю движения относительно вращающегося тела ( $\$ 80$ ), если заменить теперь $U$ через $V-T_{0}$, где $T_{0}$ – кинетическая энергия системы при вращении с относительным „покоем\” в конфигурации $\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right.$ ).
1) Нетрудно усмотреть, что при движении системы гироскопические силы не совершают никакой работы. Прим. ред.

Во всех случаях условия стационарности движения, или относительного равновесия, будут того же типа:
\[
\frac{\partial U}{\partial q_{r}}=0,
\]

как и в § 86 .
Достаточность условия устойчивости, заключающегося в том, что величина $U$ должна иметь минимум в положении равновесной конфигурации, показывается путем применения доказательства Дирихле без каких бы то ни быяо изменений. Это доказано для соответствующих случаев в $\S 84,80$ в силу равенств:
\[
\begin{array}{l}
\mathfrak{I}+V+K=\text { const. } \\
\mathfrak{T}+V-T_{0}=\text { const. }
\end{array}
\]

Это условие также и необходимо, если учитывается влияние диссипативных сил на координаты $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Это вытекает из доказательства Кельвина, приведенного в § 86. Таким образом мы будем в дальнейшем предполагать, что величина $U$ является минимальной.

Чтобы исследовать влияние гироскопических членов на малые колебания, мы будем пренебрегать трением и для простоты предположим, что $F=0$. $M_{5}$ также предположим, что координаты $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ при выполнении условий (6) обращаются в нуль. Следовательно, положим:
\[
2 U=c_{11} q_{1}^{2}+c_{22} q_{2}^{2}+\ldots+2 c_{12} q_{1} q_{2}+\ldots
\]

Надо заметить, однако, следующее. Благодаря тому, что $K$ или $T_{0}$ заключаются в значении $U$, коэфициенты в этом выражении могут зависеть отчасти от значений постоянных количеств движения, соответствующих игнорируемым (пренебрегаемым) координатам или от угловой скорости вращающегося тела, так как может быть и такой случай.

Уравнения движения можно упростить еще больше путем преобразования координат, приводящего одновременно функции. $\mathfrak{T}$ и $U$ к суммам квадратов:
\[
\begin{array}{l}
2 \mathfrak{T}=a_{1} \dot{q}_{1}^{2}+a_{2} \dot{q}_{3}^{2}+\ldots+a_{n} \dot{q}_{n}^{2}, \\
2 U=c_{1} q_{1}^{2}+c_{2} q_{2}^{3}+\ldots+c_{n} q_{n}^{2} .
\end{array}
\]

Это всегда можно сделать, но нужно заметить, что частное требуемое преобразование может изменяться вместе с значениями постоянных количеств движения или постоянной угловой скорости, о которых упоминалось выше. Новые координаты можно назвать ${ }_{n}$ главными координатами“ системы, но не следует предполагать, что они сохраняют взаимно независимый характер „нормальных координат “ ациклической системы. Например, как правило, невозможно движение, при котором изменялась бы только одна главная координата.
Теперь уравнения (4) примут вид:
\[
\begin{array}{l}
a_{1} \ddot{q}_{1}+c_{1} q_{1}+\beta_{12} \dot{q}_{2}+\beta_{13} \dot{q}_{3}+\ldots+\beta_{1 n} \dot{q}_{n}=Q_{1}, \\
a_{2} \ddot{q}_{2}+c_{2} q_{2}+\beta_{21} \dot{q}_{1} \quad+\beta_{23} \dot{q}_{3}+\ldots+\beta_{2 n} \dot{q}_{n}=Q_{2} \\
a_{n} \ddot{q}_{n}+c_{n} q_{n}+\beta_{n 1} \dot{q}_{1}+\beta_{n 2} \dot{q}_{2}+\beta_{n 3} \dot{q}_{3}+\cdots \cdots \cdot Q_{n} . \\
\end{array}
\]

Чтобы исследовать свободные колебания, положим:
\[
Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}=0
\]

и
\[
q_{1}=A_{1} e^{\lambda t}, q_{2}=A_{2} e^{\lambda t}, \ldots, q_{n}=A_{n} e^{\lambda t} .
\]

Произведя подстановку, найдем:
\[
\begin{array}{l}
\left(a_{1} \lambda^{2}+c_{2}\right) A_{1} \quad+\beta_{12} \lambda A_{2}+\ldots+\beta_{1 n} \lambda A_{n}=0, \\
\beta_{21} \lambda A_{1}+\left(a_{2} \lambda^{2}+c_{2}\right) A_{2}+\ldots+\beta_{2 n} \lambda A_{n}=0, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\beta_{n 1} \lambda A_{1} \quad+\beta_{n 2} \lambda A_{2}+\ldots+\left(a_{n} \lambda^{2}+c_{n}\right) A_{n}=0 . \\
\end{array}
\]

Исключив отношения $A_{1}: A_{2}: \ldots: A_{n}$, получим уравнение:

или для краткости можем написать
\[
\Delta(\lambda)=0 .
\]

Решением системы уравнений (14), соответствующим одному из корней $\lambda$, будет:
\[
\frac{A_{1}}{\alpha_{1}}=\frac{A_{2}}{\alpha_{2}}=\ldots=\frac{A_{n}}{\alpha_{n}}=C,
\]

где $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ – миноры элементов строки определителя (15), а $C$ – произвольная постоянная.

Определитель $\Delta(\lambda)$ в силу соотношений $\beta_{r s}=-\beta_{s r}$ представляет \”косой определитель. Если мы изменим знак $\lambda$ на обратный, то строки и столбцы просто поменяются местами, и, следовательно, значение определителя не изменится. Таким образом корни уравнения (15) будут втречаться парами вида
\[
\lambda= \pm(p+i \sigma),
\]

но на основании критерия Кельвина очевидно, что если $U$ в нулевой конфигурации имеет минимум, то мы должны иметь $\rho=0$, так что двнжение является строго периодическим.

Чтобы получить аналитическое доказатальство этого результата, мы применим метод, изложенный в §92. Если в системе уравнений (14) заменим $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ через $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ и умножим полученные уравнения соответственно на $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$, то после сложения получим:
\[
\lambda^{2} \mathfrak{T}(\alpha)+\varphi(\alpha)=0,
\]

Это показывает, что если значения $\lambda^{2}$ действительны, то они должны быть отрицательными.

Далее обозначим через $\alpha_{1}{ }^{\prime}, \alpha_{2}{ }^{\prime}, \ldots, \alpha_{n}{ }^{\prime}$ значения миноров, соответствующих другому корню уравнения (16), не удовлетворяющему равенству $\lambda+\lambda^{\prime}=0$. Мы найдем:
\[
\lambda^{2} \mathfrak{T}\left(\alpha, \alpha^{\prime}\right)+\lambda \sum \beta_{r s}\left(\alpha_{r}{ }^{\prime} \alpha_{s}-\alpha_{r} \alpha_{s}{ }^{\prime}\right)+U\left(\alpha, \alpha^{\prime}\right)=0
\]

и
\[
\lambda^{\prime 2} \mathfrak{T}\left(\alpha, \alpha^{\prime}\right)+\lambda^{\prime} \sum \beta_{r s}\left(\alpha_{r} \alpha_{s}^{\prime}-\alpha_{r}^{\prime} \alpha_{s}\right)+U\left(\alpha, \alpha^{\prime}\right)=0 .
\]

Исключив средние члены и разделив на $\lambda+\lambda^{\prime}$, найдем:
\[
\lambda \lambda^{\prime}=-\frac{U\left(\alpha, \alpha^{\prime}\right)}{\widetilde{\mathfrak{I}}\left(\alpha, \alpha^{\prime}\right)} .
\]

Если допустить, что имеются комплексные корни, то можно положить:
\[
\lambda=p+i \circ, \lambda^{\prime}=p-i \text {. }
\]

Следовательно, положив
\[
\alpha_{\dot{r}}=\mu_{r}+i v_{r}, \alpha_{r}^{\prime}=\mu_{r}-i v_{r},
\]

будем иметь:
\[
\rho^{2}+\sigma^{2}=-\frac{U(\mu)+U(
u)}{\mathfrak{T}(\mu)+\mathfrak{T}(
u)},
\]

что невозможно, если величина $U$ существенно положительна; отсюда выводим заключение, что корни уравнения (16) встречаются только парами вида:
\[
\lambda= \pm i \sigma \text {. }
\]

Мы видим теперь, что обратное заключение, а именно, что все корни не могут быть этого типа, если только $U$ не имеет минимума в нулевой конфигурации, в данном случае неверно, если не учесть сил трения (§ 100).

Чтобы исследовать характер малых колебаний, заметим, что миноры $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ будут заключать в себе как четные, так и нечетные степени $\lambda$ и, следовательно, будут комплексными. Положив
\[
\lambda=i \sigma, \alpha_{r}=\mu_{r}+i
u_{r},
\]

получим:
\[
q_{r}=C\left(\mu_{r}+i
u_{r}\right) e^{i \sigma t} .
\]

Положив $C=H e^{i_{\epsilon}}$ и взяв вещественную часть, получим:
\[
q_{r}=H\left\{\mu_{r} \cos (\sigma t+\varepsilon)-
u_{r} \sin (\sigma t+\varepsilon)\right\},
\]

где постоянные $H$ и є произвольны. Формула эта представляет то, что можно назвать „собственным“ колебанием системы. Число таких колебаний равно числу степеней свободы.

Следует заметить, что фаза в пюбой момент времени ке одинакова для всей системы, а различна для разных координат. Мы найдем, что при собственном колебании движение любой точки является вообе эллиптическим гармоническим колебанием.

Примеры малых колебаний циклической вли вращающећся системы встречались в разных частях этой книги ${ }^{1}$ ). Примеры, приводимые ниже, являются сравнительно простыми примерами непрерывных систем.

ПРимер. Однородная бесконечная цепь вращается в собственной плоскости, образуя круг; исследовать малые колебания при установившемся движенин.

Пусть $a$ – радиус, $p$ – линейная плотность, $\omega$ – угловая скорость. Если полярные координаты элемента цепи в состоянии покоя обозначить через ( $a, \theta$ ), то координаты в возмущенном состоянии можно представить в виде:
\[
r=a+u, \quad \theta_{1}=\theta+\omega t+\frac{v}{a},
\]

где $u, v$ малы. Обозначив через ч угол, образуемый касательной с радиусомвектором, и нредполагая цепь нерастяжимой, получим
\[
\cos \varphi=\frac{\partial r}{\partial s}=\frac{\partial u}{a \partial \theta}=\frac{u^{\prime}}{a},
\]

где штрих означает диференцирование по $\theta$. Следовательно, с точностью до величин первого порядка
\[
\varphi=\frac{\pi}{2}-\frac{u^{\prime}}{a} .
\]

Далее имеем:
\[
\sin \varphi=\frac{r d \theta_{1}}{d s}=\left(1+\frac{u}{a}\right)\left(1+\frac{v^{\prime}}{a}\right) .
\]

Так как с точностью до величин первого порядка $\sin \varphi=1$, то имеем:
\[
u+v^{\prime}=\mathbf{0} .
\]

Радиальное и трансверсальное усксрения с тем же приближением будут выражаться формулами:
\[
\begin{aligned}
\ddot{r}-r \dot{\theta}_{2}^{2} & =\ddot{u}-(a+u)\left(\omega+\frac{\dot{v}}{a}\right)^{2}=\ddot{u}-2 \omega \dot{v}-\omega^{2} u-\omega^{2} a, \\
r \ddot{\theta}_{1}+2 \dot{r} \dot{\theta}_{1} & =(a+u) \frac{\ddot{v}}{a}+2 \dot{u}\left(\omega+\frac{\dot{v}}{a}\right)=\ddot{v}+2 \omega \dot{u} .
\end{aligned}
\]

Обозначив через \& угол наклома касательной к фиксированной прямой, можем написать:
\[
\psi=\theta_{1}+\varphi,
\]

и, следовательно, на основании (30) и (32)

Вычислим тепець силы, действующие на элемент $P Q(=a \hat{0} \theta)$. Если силу натяжения обозначить через $T$, то рассматриваемые силы сведутся к $\delta T$, действующей вдоль касательной, и к силе Тоџ, действующей вдоль нормали ( ${ }_{n}$ Статика“, §80). Произведя разложение на составляющие в направлении радиусавєктора и в направлении, перпендикулярном к нему, получим:
\[
\delta T \cos \varphi-T \partial \sin \varphi=-T\left(1+\frac{v^{\prime}-u^{\prime \prime}}{a}\right) \delta \theta
\]

и соответственно
\[
\delta T \sin \varphi+T \hat{\partial} \psi \cos \varphi=\delta T+T \frac{u^{\prime}}{a} \delta \theta \text {. }
\]
1) $\S 47,57,79$.

Следовательно, уравнения движения элемента раюิө будут иметь вид:
\[
\begin{aligned}
\left(\rho a\left(\ddot{u}-2 \omega \dot{u}-\omega^{2} u-\omega^{2} a\right)\right. & =-T\left(1+\frac{v^{\prime}-u^{\prime \prime}}{a}\right), \\
\rho a(\ddot{v}+2 \omega \dot{u}) & =\frac{\partial T}{\partial \theta}+\frac{T u^{\prime}}{a} .
\end{aligned}
\]

В качестве первого приближения имееи $T=\rho \omega^{2} a^{2}$, как это уже нам было известно в другом месте (\”Статика“, § 80). Произведя подстановку этого значения $T$ в малье члены и произведя нсключение $\frac{\partial T}{\partial \theta}$, найдем:
\[
\ddot{u^{\prime}}-2 \omega \dot{v}^{\prime}-\omega^{2} u^{\prime}+\ddot{v}+2 \omega \dot{u}=-\omega^{2} v^{\prime \prime}+\omega^{2} u^{\prime \prime \prime}+\omega^{2} u^{\prime},
\]

или исключив $и$ при помощи равенства (34), получим:
\[
\ddot{v} \ddot{v}^{\prime \prime}-\ddot{v}+4 \omega \dot{v}^{\prime}-\omega^{2} v^{\mathrm{IV}}-3 \omega^{2} v^{\prime \prime}=0 .
\]

Исследование этого уравнения можно провести, пользуясь обычным методом, приняв, что $v$ изменяется пропорционально $e^{i j t}$, но выкладки сократятся, если мы сразу положим:
\[
v=C e^{i(s t-s \vartheta)},
\]

где $s$-какое-либо положительное или отрицательное целое число. Характеристическое уравнение будет иметь вид:
\[
\sigma^{2}\left(s^{2}+1\right)+4 \tau \omega s-\omega^{2} s^{2}\left(s^{2}-3\right)=0,
\]

корни этого уравнения будут
\[
\sigma=-s \omega, \frac{s\left(s^{2}-3\right)}{s^{2}+1} \omega .
\]

Формулу (45) можно интерпретирозать как представляющую волнообразное движение по кругу с одной из двух углозых скоростей:
\[
\frac{c}{s}=-\omega \quad \text { или } \frac{\sigma}{s}=\frac{s^{2}-3}{s^{2}+1} \omega .
\]

Это будут скорости относительно цепи. Чтобы получить абсолютные скорости, мы должны к этим результатам добавить $\omega$, что соответственно дает:
\[
0 \text { и }-\frac{2\left(s^{2}-1\right)}{s^{2}+1} \omega \text {. }
\]

Что возможна возмущенная форма, стационарная в пространстве, это уже было известно нам и раньше (\”Динамика“, § 50). Точно так же очевидно, что обе волны будут стационарны при $s= \pm 1$, так как тогда с точностью до нашего порядка приближения возмущенная форма будет круговой.