Обобщение на пространство трех измерений известных положений статики для плоскости не представляет затруднений. Равнодействующая любого числа сил, действующих на материальную точку, может быть определена при помоци многоугольника сил. То обстоятельство, что стороны многоугольника не лежат в одной плоскости, не вносит изменений в доказательство предложения ( ${ }_{n}$ Статика“, § 7). Для существования равновесия необходимо, чтобы многоугольник был замкнутым.
Мы можем также напомнить следующее предложение. Если $G$ есть центр масс материальных точек $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n}$, находящихся в точках $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ пространства, а $O$ есть произвольная точка, то мы имеем в векторном обозначении
\[
\left(m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}\right) \mathrm{OG}=m_{1} \cdot \mathrm{OP}_{1}+m_{2} \cdot \mathrm{OP}_{2}+\ldots+m_{n} \cdot \mathrm{OP}_{n} .
\]
Следовательно, силы, выражаемые посредством количеств $m_{1} \mathrm{OP}_{1}, m_{2} \mathrm{OP}_{2}$, $\ldots, m_{n} \mathrm{OP}_{n}$ имеют равнодействущую $\Sigma(m) \cdot \mathrm{OG}$. Скалярные величины $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n}$ могут иметь и разные знаки, но предполагается, что $\left.\Sigma(m)
eq 0^{1}\right)$.
Аналитическое приведение сил, действующих на материальную точку, может быть выполнено следующим образом (фиг. 15).
Пусть OP – вектор, изображающий силу $F$, приложенную к началу координат. Через $P$ проводим три плоскости, параллельные плоскостям координат. Они образуют с последними параллелепипед. Из чертежа (фиг. 15) мы выводим векторное уравнение
\[
\mathrm{OP}=\mathrm{OA}+\mathrm{AN}+\mathrm{NP}=\mathrm{OA}+\mathrm{OB}+\mathrm{OC} .
\]
Сила $F$, следовательно, эквивалентна трем силам $X, Y, Z$, действующим вдоль осей координат, а именно:
\[
X=F \lambda, \quad Y=F \mu, \quad Z=F v,
\]
где $\lambda, \mu,
u$ суть направляющие косинусы $O P$.
Система сил, приложенных к $O$, сводится таким образом к трем силам:
\[
P=\boldsymbol{\Sigma}(X), \quad Q=\boldsymbol{\Sigma}(Y), \quad R=\boldsymbol{\Sigma}(Z),
\]
1) Эта теорема приписывается Ленббницу (1646 – 1716). Она непосредственно вытекает из современного векторного определения центра масс („Статика“ §64).
направленным соответственно вдоль осей координат $O x, O y$ и $O z$. Если $l, m, n$ – направляющие косинусы равнодействующей $S$, то мы имеем
и, следовательно,
\[
P=S l, \quad Q=S m, \quad R=S n,
\]
\[
S^{2}=P^{2}+Q^{2}+R^{2} \text {. }
\]
Формулы (5) и (6) определяют $S$ и ее направление $(l, m, n$ ). Для равновесия мы должны иметь $S=0$, а следовательно,
\[
P=0, Q=0, \quad R=0 .
\]
Это значит, что сумма составляющих данных сил вдоль каждого из трех взаимно перпендикулярных направлений должна быть равна нулю.
