В предыдущей теореме энергия гипотетического движения задана, а время перехода из начальной конфигурации в конечную представляет переменную величину. В другой обычно более удобной для применения теореме время перехода задано и имеет такую же величину, как в действительном движении, а энергия на варьированном пути будет вообще другая, и не должна быть заданной постоянной. При этом условии будем иметь:
\[
\Delta \int_{0}^{\tau}(T-V) d t=0 \text { или } \Delta \int_{0}^{t} L d t=0,
\]

где $L$ представляет функцию Лагранжа ( $\$ 77$ ).
Действительно,
\[
\begin{aligned}
\int_{0}^{\tau}(\delta T-\delta V) d t & =\int_{0}^{t}\left\{\sum m(\dot{x} \dot{x} \dot{x}+\dot{y} \dot{\partial}+\dot{z} \delta \dot{z})-\delta V\right\} d t= \\
& =\left[\sum m(\dot{x} \delta x+\dot{y} \delta y+\dot{z} \delta z)\right]_{0}^{\tau}- \\
& -\int_{0}^{\tau}\left\{\sum m(\ddot{x} \delta x+\ddot{y} \delta y+\ddot{z} \delta z)+\delta V\right\} d t .
\end{aligned}
\]
1) Вышеприведенную иллюстрацию дал Якоби в своих \”Vorlesungen über Dynamik\” (опубликованы в 1866 г.). Лекции датированы 1842 -м годом.
2) Выводы этого параграфа сохраняются и для некоторых неконсервативных систем, а именно, когда силы допускают силовую функцию, хотя бы и зависящую явно от времени. См. примеч. ред. к § 82 . Прим. ред.

Проинтегрированные члены обращаются в нуль при обоих значениях пределов, так как по предположению соответственные конфигурации фиксированы, в то время как члены, стоящие под знаком интеграла, обращаются в нуль на основании вариационного уравнения Лагранжа.

То обстоятельство, что в равенстве (1) продолжительность перехода должна быть при варьировании одной и той же, дает возможность легко применять формулу при любой системе координат.
Таким образом для вывода уравнений Лагранжа мы имеем равенство:
\[
\begin{aligned}
\int_{0}^{\tau}(\delta L) d t & =\int_{0}^{\tau} \sum_{r}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}} \delta \dot{q}_{r}+\frac{\partial L}{\partial q_{r}} \delta q_{r}\right) d t= \\
& =\left[\sum_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}} \delta q_{r}\right]_{0}^{\tau}-\int_{0}^{\tau} \sum_{r}\left\{\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}-\frac{\partial L}{\partial q_{r}}\right\} \delta q_{r} .
\end{aligned}
\]

Проинтегрированные члены обращаются в нуль при значениях обоих пределов, для обращения остальных членов правой части в нуль необходимо, чтобы коэфициенты перед вариациями $8 q_{r}$, являющимися независимыми и подчиненными лишь условию обращаться в нуль для пределов интегриро́вания, порознь обращались в нуль. Таким образом мы пришли к типичному лагранжеву уравнению движения (5) § 77 .

Мы видим, что формула (1) удобна, как заменяющая в компактной форме все обычные уравнения динаиики.