В § 6 было показано, что между парою сил и двумя равными бесконечно малыми и обратными вращениями около параллельных осей существует полная математическая аналогия. Вследствие того, что два таких вращения равносильны поступательному перемещению нормально к плоскости обеих осей, а поступательные перемещения могут быть изображены свободными векторами и подчиняются правилу сложения векторов, мы можем заключить, что пары сил могут быть изображены подобным же образом.

Выражаясь точнее, если мы прсведем (где-либо) вектор, нормальный к плоскости пары и имеющий длину, пропорциональную моменту
1) Полярная плоскость точки $A$ содержит самое точку $A$. Вершины каждого многогранника находятся в плоскостях, соответствующих граням другого. Каждый многогранник может рассматриваться в известном смысле и как описанный, и как вписанный в другой. Возможность такого соотношения была указана Мёбиусом.
2) Теорема принадлежит Максквеллу, а доказательство дал Кремона (C г еm on a, Le figure reciproche nella statica grafica, 2-е изд., Милан 1872).

пары, и притом проведем в таком направлении, чтобы момент пары относительно этого направления был положительным согласно условию $\S 14$, то мы можем заключить, что пары, действующие в разных плоскостях, можно складывать путем геометрического сложения их моментов ${ }^{1}$ ).

Мы дадим независимо от этого еще чисто статическое доказательство той же теоремы.

Представим себе, что чертеж (фиг. 18) сделан в плоскости, перпендикулярной к плоскостям тех пар, которые должны быть сложены. Прямая пересечения этих дгух плоскостей перпендикулярна, таким образом, к плоскости чертежа и пересекает ее в точке $B$.

На основании известных теорем мы можем каждую пару представить двумя силами $\pm P$, нормальными к плоскости чертежа и расположенными так, что одна из этих сил лежит на прямой пересечения ( $B$ ) плоскостей пар. Плечи пар $A B$ и $B C$ будут в таком случае пропорциональны соответствующим моментам. Обе силы, расположенные вдоль прямой ( $B$ ), ураєтовесятся; таким образом, останется одна только пара с моментом $P \cdot A C$, действующая в плоскости $A C$.

Фиг. 18. Если из любой начальной точки $O$ мы проведем три вектора (моменты), изображающие пары сил указанным выше образом, то векторы будут соответственно пропорциональны и перпендикулярны к сторонам треугольника $A B C$. Следовательно, третии вектор есть геометрическая сумма двух других.

П Ример. В плоскостях граней тетраэдра дано четыре пары сил с моментами, пропорциональными площадям граней. Эти пары сил будут находиться в равновесии, если все они стремятся произзодить вращение в правом направлении (или в левом) по отношению к внешним нормалям, проведенным к плоскостям граней.

Известно, что три силы, представленные сторонами $B C, C A$ и $A B$ любого треугольника $A B C$, эквивалентны паре сил, момент которой равен по величине удвоенной площади треугольника.

Следовательно, в настоящем случае пары сил, действующих в плоскостях граней тетраэдра $O A B C$, могут быть разложены на силы, попарно расположенные вдоль ребер тетраэдра и взаимно уравновешивающие друг друга.

Если мы обратим направление пары в $A B C$, то эта пара будет эквивалентна парам, расположенным в трех других плоскостях. .

Заслуживает внимания частный случай, когда три ребра $O A, O B, O C$ взаимно перпендикулярны, как это представлено на чертеже (фиг. 19). Пусть $\Delta$-площадь треугольника $A B C$, а $l, m, n$ – направляющие косинусы перпендикуляра, опущенного из $O$ на плоскость $A B C$ относительно координатных осей, проведенных в направлении $O A, O B$ и $O C$. П.ощади трех проекций $\Delta$ на плоскости координат будут равны соответственно $l \Delta, m \Delta$ и $n \Delta$. Следовательно, пара $G$ около оси, направляющие косинусы которой относительно прямоугольных осей равны $l, m, n$, соответственно эквивалентна трем парам $l G, m G$ и $n G$ около осей коордипат. Эта теорема вытекает, очевидно, кроме того, и из теоремы Пуансо.
1) Эта теорема принадлежит Пуансо.

Другое следствие настоящей теоремы следующее: Четыре сходящихся в одной точке силы, направленные все по внешним (или все по внутренним) нормалям к граням тетраэдра, будут находиться в равновесии, если величина каждой силы пропорциональна площади той грани, к которой она нормальна.