Если значения кинетической энергии для двух состояний движения обозначим через $T$ и $T^{\prime}$, то будем иметь, как алгебраическое тождество, следующее равенство:
\[
\begin{aligned}
T^{\prime}-T & =\frac{1}{2} \sum_{r}\left(p_{r}^{\prime} \dot{q}_{r}^{\prime}-p_{r} \dot{q}_{r}\right)= \\
& =\frac{1}{4} \sum_{r}\left(p_{r}^{\prime}+p_{r}\right)\left(\dot{q}_{r}^{\prime}-\dot{q}_{r}\right)+\frac{1}{4} \sum_{r}\left(p_{r}^{\prime}-p_{r}\right)\left(\dot{q}_{r}^{\prime}+\dot{q}_{r}\right),
\end{aligned}
\]

где символ $\Sigma_{r}$ означает сумиирование по всем индексам ${ }^{1}$ ). Обе части последнего выражения на основании теоремы взаимности равны, так как величины $p_{r}^{\prime}+p_{r}$ представляют количества двнжения, соответствующие скоростям $\dot{q}_{r}^{\prime}+\dot{q}_{r}$, а $p_{r}^{\prime}-p_{r}$ представляют количества движения, соответствующие скоростям $\ddot{q}_{r}^{\prime}-\dot{q}$, Следовательно, мы имеем эквивалентные формулы:
\[
\begin{array}{l}
T^{\prime}-T=\frac{1}{2} \sum_{r}\left(p_{r}^{\prime}+p_{r}\right)\left(\dot{q}_{r}^{\prime}-\dot{q}_{r}\right) \\
T^{\prime}-T=\frac{1}{2} \sum_{r}\left(p_{r}^{\prime}-p_{r}\right)\left(\dot{q}_{r}^{\prime}+\dot{q}_{r}\right) .
\end{array}
\]

Исходя из этих формул, мы выведем две важных теоремы, в которых кинетическая энергия системы, приводимой в движение данными импульсами или (другой случай) с заданными скоростями, сравнивается с энергией системы, если на нее натожены какие-лйбо связи.

Предположим сперва, что система начала свое движение под действием заданных импульсов известного типа, но является совершенно свободной в остальном. Мы можем предположить, что связи выражаются равенством нулю определенных координат остальных типов, добившись этого в случае необходимости путем преобразования.координат. На основании (3) имеем:
\[
\begin{aligned}
T-T^{\prime} & =\frac{1}{2} \sum_{r}\left(p_{r}-p_{r}^{\prime}\right)\left(\dot{q}_{r}+\dot{q}_{r}^{\prime}\right)= \\
& =\frac{1}{2} \sum_{r}\left(p_{r}-p_{r}^{\prime}\right)\left(\dot{q}_{r}-\dot{q}_{r}^{\prime}\right)+\sum_{r}\left(p_{r}-p_{r}^{\prime}\right) \cdot \dot{q}_{r}^{\prime} .
\end{aligned}
\]

Относя штрихи к движению при наличии связей, мы получим равенства $p_{r}^{\prime}=p_{r}$ для импульсов заданных типов, причем скорости $\dot{q}_{\mathrm{r}}$ для координат других типов обращаются в нуль. Таким образом
\[
T-T^{\prime}=\frac{1}{2} \sum_{r}\left(p_{r}-p_{r}^{\prime}\right)\left(\dot{q}_{r}-\dot{q}_{r}\right) .
\]

Правая сторона этого равенства представляет энерги: движения со скоростями $\dot{q}_{r}-\dot{q}_{r}^{\prime}$ и, следовательно, существенно положительна. Следовательно, энергия, сообщаемая данными импульсами больше, чем если бы на систему были наложены связи, на величину, равную энергии движения, представляющего разность мәжду свободным движением и движением при наличии связен. Эту теэрему в ее полном виде формулировал Делоне (1844). Хороший пример ее применения дает проблема Эйлера (§ 44, пример).

Теперь предположим, что система начала двигаться с заданными скоростями определенного типа благодаря приложению надлежацих
1 Это обозначение не надо смешивать с прежним обозначением $\Sigma$ (без индекса) для суммирования по всем точкам системы.

импульсов того же типа, в остальном же система является свободной. На основании (2) нмеем:
\[
\begin{aligned}
T^{\prime}-T & =\frac{1}{2} \sum_{r}\left(p_{r}^{\prime}+p_{r}\right)\left(\dot{q}_{r}^{\prime}-\dot{q}_{r}\right)= \\
& =\frac{1}{2} \sum_{r}\left(p_{r}^{\prime}-p_{r}\right)\left(\dot{q}_{r}^{\prime}-\dot{q}_{r}\right)+\sum_{r} p_{r}\left(\dot{q}_{r}^{\prime}-\dot{q}_{r}\right)
\end{aligned}
\]

Мы имеем $\dot{q}_{r}^{\prime}=\dot{q}_{\text {r }}$ для скоростей заданного типа, в то время как количества движения $p_{\text {r }}$ остальных типов равны нулю. Следовательно,
\[
T^{\prime}-T=\frac{1}{2} \sum_{r}\left(p_{r}^{\prime}-p_{r}\right)\left(\dot{q}_{r}^{\prime}-\dot{q}_{r}\right) .
\]

Таким образом энергия, приобретенная системой. при движении с заданными начальными скоростями, меньше, чем если бы на систему были наложены связи, на величину, равную энергии движения, представляющего разность между свободным движением и движением при наличии связей. Эта теорема принадлежит Кельвину (Томсону) (1863).

Другое доказательство этих теорем дано в § 83. Следует заметить, что, не считая настоящей интерпретации, они являются чисто алгебраическими, и в вругом смысле встречаются в разных отделах математической физики. Аналогичные теоремы статики изложены в § 88.

ПРимер. Рассмотрим случай вагона, содержащего ряд тел, могущих свободно вращаться или качаться наподобие маятника. Заданный горизонтальный импульс, приложенный к вагону, сообщит большее количество энергии, чем если бы возможность относительного движения некоторых из тел, находящихся в вагоне, была предотвращена. Для сообщения же еагону заданной скорости нужно затратить меньшее количество работы.

Например, предположим, что в вагоне лежит (поперек) цилиндрический каток, имеющин массу $m$. радиус $\rho$ и радиус инерции ж. Јегко найти, что импульс, необходимый дия сообщения вагону заданной скорости $u$, имеет величипу
\[
\xi=M^{\prime} u
\]

где
\[
M^{\prime}=M+\frac{m x^{2}}{a^{2}+z^{2}},
\]

а $M$ обозначает виртуальную (фактическую) массу одного вагона, если принять во внимание инерцию колес. Формула $\frac{1}{2} \xi u$ для сообщенной энергии может быть представлена в одной из двух следующих форм:
\[
\frac{1}{2} \frac{\xi^{3}}{M^{\prime}} \text { нли } \frac{1}{2} M^{\prime} u^{2} \text {. }
\]

Так инк $M^{\prime}<M+m$, то теорема подтверждается.
Этот пример иллюстрирует замечание Рэлея, что эффект нэложения связи. выражается в увеличении и н ерци и системы.