Метод подвижных осей часто применяется при исследовании устойчивости дирижабля или аэроплана. Ниже нами изложена схема исследования для случая прямолинейного горизонтального полета.

Мы примем правую систему осей, неизменно связанных с телом. Ось $x$ направим вперед от центра тяжести параллельно оси пропеллера, следовательно, в плоскости симметрии, ось $y$ направим нормально к этой плоскости вправо. Следовательно, когда эти оси горизонтальны, ось $\boldsymbol{z}$ направлена вертикально вниз.

Обоьначим через $A, B, C, F, G, H$ моменты и произведения инерции относительно этих осен; очевидно, что благодаря симметрии по отношению к плоскости $z x$, произведения $F$ и $H$ равны нулю. Следовательно, составляющие количества движения и момента количеств движения при наших обозначениях будут:

Таким образом уравнения движения аэроплана ${ }^{1}$ ) будут иметь вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
M_{0}\left(\frac{d u}{d t}-r v+q w\right)=M_{0} g l+P-X, \\
M_{0}\left(\frac{d v}{d t}-p w+r u\right)=M_{0} g m-Y, \\
M_{0}\left(\frac{d w}{d t}-q u+p v\right)=M_{0} g n-Z,
\end{array}\right\}
\]
1) В случае дирижабля в уравнения (2) не входят члены, содержащие $g$, так как вес компенсируется подъемной силой. Уравнения же (3) должны быть изменены путем введения пар, обусловленных действием веса и подъемной силы, приложенных к соответствующим центрам.

\[
\left.\begin{array}{c}
A \frac{d p}{d t}-G \frac{d r}{d t}-(B-C) q r-G p q=-L, \\
B \frac{d q}{d t}-(C-A) r p-G\left(p^{2}-r^{2}\right)=-M, \\
C \frac{d r}{d t}-G \frac{d p}{d t}-(A-B) p q+G q r=-N
\end{array}\right\}
\]

где $M_{0}$ означает полную массу $\left.{ }^{1}\right), l, m, n$ означают направляющие косинусы вертикали, направленной вниз, $P$ – тягу пропеллера, а – $X$, $-Y,-Z,-L,-M,-N-$ составляющие силы сопротивления воздуха и ее моменты ${ }^{2}$ ).

К этим уравнениям мы должны еще добавить кинематические уравнения
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d l}{d t}-r m+q n=0 \\
\frac{d m}{d t}-p n+r l=0 \\
\frac{d n}{d t}-q l+p m=0
\end{array}\right\}
\]

выражающие неподвижность вертикали.
Предполагая, что при установившемся полете ось $x$ горизонтальна, мы должны удовлетворить уравнениям, положив $u=U$, а все $v$, $w$, $q, r, l, m$ равными нулю и $n=1$. Следовательно,
\[
X_{1}=P, Y_{1}=0, Z_{1}=M_{0} g, L_{1}=0, M_{1}=0, N_{1}=0,
\]

где индекс внизу относится к установившемуся состоянию. Чтобы применить уравнения к случаю незначительного возмущения, мы подставим $U+u$ вместо $u$ и опустим члены второго порядка относительно $u, v$, $w, p, q, r, l, m$ и, следовательно, положим $n=1$.
Таким образом
\[
\left.\begin{array}{r}
M_{0} \frac{d u}{d t}-M_{0} g l+X-X_{1}=0, \\
M_{0}\left(\frac{d v}{d t}+U r\right)-M_{0} g m+Y-Y_{1}=0, \\
M_{0}\left(\frac{d w}{d t}-U q\right)+Z-Z_{1}=0,
\end{array}\right\}
\]

ๆ в случае дирижабля может иметь существенное эначение „виртуальная масса\”, учитывающая поправку на инерцию воздуха (фактическая масса).
2) ‘В случае дирижабля нужно еще одно изменение вследствие того, что линия денсствия тяги пропеллеров значительно ниже центра масс.

\[
\begin{array}{r}
A \frac{d p}{d t}-G \frac{d r}{d t}+L-L_{1}=0 \\
B \frac{d q}{d t}+M-M_{1}=0 \\
C \frac{d r}{d t}-G \frac{d p}{d t}+N-N_{1}=0
\end{array}
\]

и
\[
\frac{d l}{d t}+q=0, \frac{d m}{d t}-p=0 .
\]

Вследствие того, что скорость воздуха относительно разных частей машины различна, количества $X-X_{1}, \ldots, L-L_{1}, \ldots$ будут заключать в себе величины $u, v, w, p, q, r$. Для малых значений этих величин соответствующие функции примем линейными, таким образом мы напишем:

где 36 коэфициентов являются постоянными и зависят лишь от конструкции мащины и от невозмущенной скорости $U$. Они названы Брайаном (Bryan) ${ }^{1}$ ), который их первый ввел, „производными сопротивления “ (resistance-derivatives). У симметричнон машины, какую мы здесь и рассматриваем, их число уменьшается до 18 . Например, ясно, что значение $X-X_{1}$ не должно иэменяться при изменении знака у $v$, $p$ или $r$ на обратный. Следовательно, $X_{v}, X_{p}, X_{r}=0$. При помощи соображений такого рода мы находим, что $X, M, Z$ с индексами $v$, $p, r$ и $Y, L, N$ с индексами $u, w, q$ в систему равенств (9) не входят. Значения этих производных для машины определенного типа частично находятся на основании теоретических исследований, а частично на основании экспериментов над моделями в аэродинамической трубе.

Таким образом наши уравнения распадаются на две независимых группы. В первой группе мы имеем уравнения:
\[
\left.\begin{array}{rl}
M_{0} \frac{d u}{d t}-M_{0} g l+X_{u} u+X_{w} w+X_{q} q & =0, \\
M_{0}\left(\frac{d w}{d t}-U q\right)+Z_{u} u+Z_{w} w+Z_{q} q & =0, \\
B \frac{d q}{d t}+M_{u} u+M_{w} w+M_{q} q & =0, \\
\frac{d l}{d t}+q & =0 .
\end{array}\right\}
\]
1) Stability in Aviation, London 1911. Указания ва дальнейшие исследования можно нантн у Bairstow, Applied Aerodynamics, London 1920.

Они содержат только $u, w, q, l$.
Во вторую группу входят уравнения:
\[
\left.\begin{array}{r}
M_{0}\left(\frac{d v}{d t}+U r\right)-M_{0} g m+Y_{v} v+Y_{p} p+Y_{r} r=0 \\
A \frac{d p}{d t}-G \frac{d r}{d r}+L_{v} v+L_{p} p+L_{r} r=0 \\
C \frac{d r}{d t}-G \frac{d p}{d t}+N_{v} v+N_{p} p+N_{r} r=0 \\
\frac{d m}{d t}-p=0
\end{array}\right\}
\]

Эти уравнения содержат только $v, p, r, m$.
Следовательно, любое незначительное возмущение можно разложить на возмущения двух типов. В одном из них мы имеем: $v, p, r, m=0$, a $u, w, q, l$ удовлетворяют уравнениям (10). Траектория центра масс расположена в вертикальной плоскости, и происходит лишь вращение самолета около поперечной оси, к которому относится $q$.

В возмущениях второго типа мы имеем: $u, w, q, l=0$, а $v, p, r, m$ удовлетворяют уравнениям (11). Отклонение от установившегося полета в этом случае состоит из \”скольжения на крыло\” (side-slip) $v$, сопровождаемого вращением около продольной оси $p$ и вращением около вертикальной оси ( рысканье\”) $r$.

Для исследования устойчивости прямолинейного полета при наличии возмущения каждого типа мы примем, как это обычно делается, независимые переменные пропорциональными количеству $e^{\lambda t}$, и определим возможные значения $\lambda$. В случае уравнений (10) мы придем к определителю
\[
\left|\begin{array}{ccr}
M_{0} \lambda+X_{u} & X_{w} & X_{q}+\frac{M_{0} g}{\lambda} \\
Z_{u} & M_{0} \lambda+Z_{w} & -M_{v} U+Z_{q} \\
M_{u} & M_{w} & B \lambda+M_{q}
\end{array}\right|=0 .
\]

Аналогичным образом уравнения (11) дадут:
\[
\left|\begin{array}{ccc}
M_{0} \lambda+Y_{v} & Y_{p}-\frac{M_{0} g}{\lambda} & M_{0} U+Y_{r} \\
L_{v} & A \lambda+L_{p} & -G \lambda+L_{r} \\
N_{v} & -G \lambda+N_{p} & C \lambda+N_{r}
\end{array}\right|=0 .
\]

В результате в обоих случаях после вычисления определителей мы получим биквадратные уравнения относительно $\lambda$. Действительный положительный корень а каждого из этих уравнений будет входить в выражения скоростей в форме множителя $a e^{\sigma t}$, который может увеличиваться до бесконечности. Два сопряженных комплексных корня c положительными дейстительными частями введут члены типа $a e^{\alpha t} \cos \beta t, b e^{\alpha t} \sin \beta t$, указывающие на колебания с непрерывно увеличивающейся амплитудой. Следовательно, для устойчивости существенно важно, чтобы корни были или действительными и отрицательными или же имели отрицательные действительные части. Чисто мнимые корни могут характеризовать устойчивость, как и в случае малых колебаний консервативной системы (гл. XI), но мы не можем утверждать, что при незначительном изменении условий чисто мнимые корни не заменятся комплексными с действительными положительными частями.
Предположим, что уравнение (12) написано в виде:
\[
\lambda^{4}+p_{1} \lambda^{3}+p_{2} \lambda^{2}+p_{3} \lambda+p_{4}=0,
\]

и обозначим через $H$ произведение шести попарных сумм корней уравнения (14), а именно:
\[
\left.H=p_{1} p_{2} p_{3}-p_{1}^{2} p_{4}-p_{3}^{2}\right) .
\]

Исследуя различные возможные случаи, мы можем пегко найти, что если один из корней уравнения (14) имеет требуемый характер, то количества $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$ и $H$ должны быть все положительными. Больше того, эти условия являются необходимыми и достаточными. Действительно, возможность существования у уравнения (14) действительных положительных корней исключается вследствие предположения, что коэфициенты положительны. Далее, если имеются две пары сопряженных корней, например $\alpha \pm i \beta$ и $\alpha^{\prime} \pm i \beta^{\prime}$, то мы имеем:
\[
H=4 \alpha \alpha^{\prime}\left\{\left(\alpha+\alpha^{\prime}\right)^{2}+\left(\beta+\beta^{\prime}\right)^{2}\right\}\left\{\left(\alpha+\alpha^{\prime}\right)^{2}+\left(\beta-\beta^{\prime}\right)^{2}\right\} .
\]

Поэтому, если $H$ имеет положительный знак, то $\alpha$ и $\alpha^{\prime}$ должны иметь одинаковый знак, так как $p_{1}=-2\left(\alpha+\alpha^{\prime}\right)$; этот знак должен быть отрицательным, если $p_{1}$ имеет положительный знак. Если два корня комплексные, например $\alpha \pm i \beta$, и два действительные $\gamma$ и $\delta$, то мы имеем:
\[
H=2 \alpha(\gamma+\delta)\left\{(\alpha+\gamma)^{2}+\beta^{2}\right\}\left\{(\alpha+\delta)^{2}+\beta^{2}\right\} .
\]

Следовательно, $\alpha$ и $\gamma+\delta$ должны иметь одинаковые знаки. Так как $p_{1}=-(2 \alpha+\gamma+\delta)$, то эти знаки должны быть отрицательными, и так как $p_{4}=\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right) \gamma \delta$, то и $\gamma$ и $\delta$ должны быть отрицательными $\left.{ }^{2}\right)$.

Таким путем определяется \”продольная“, как она называется, устончивость летательного аппарата. Аналогичные методы исследования, будучи применены к уравнению (13), дают условия для „поперечной усгойчивости\”.
1) Если корни обозначим через $\alpha, \beta, \gamma, \delta$, то найдем:
\[
\begin{array}{c}
(\alpha+\delta)(\beta+\delta)(\gamma+\delta)=-\left(p_{1} \delta^{2}+p_{3}\right), \\
(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)(\alpha+\beta)=-\left(p_{1} \delta^{2}+p_{1}^{2 \delta}+p_{1} p_{2}-p_{3}\right) .
\end{array}
\]

Перемножая эти выражения и принимая во внимание, что $\hat{\delta}$ является корнем уравнения (14), мы и получим формулу (15).
2) Эти критерии и аргументация принадлежат Раусу.