Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Если ограничиться случаем полной устойчивости, как наиболее интересным, то предыдущие исследования показывают, что значения $\sigma^{2}$ при небольших изменениях отношений стационарны (т. е. имеют экстремальные значения). Точно так же, если представить себе, что путем наложения связей без трения число степеней свободы системы сведено к одной, так что предыдущие отношения имеют заданные величины, то частота колебаний будет средней между наибольшей и наименьшей собственными частотами системы. Экстремальное (стационарное) свойство было замечено Лагранжем. Только что сделанное дополнительное замечание принадлежит Рэлею, который дает ему следующее доказательство, основанное на применении нормальных координат, введенных в § 92. Если, пользуясь обозначениями этого параграфа, мы положим: то выражения для кинетической и потенциальной энергии примут вид: и, следовательно, частота колебаний системы с наложенными связями будет определяться при помощи формулы: Это количество представляет среднее значение между наибольшим и наименьшим из количеств относящихся к отдельным нормальным колебаниям. Кроме того, если колебание при наложении связей мало отличается от одного из нормальных, например, если $\mu^{\prime}, \mu^{\prime \prime}, \ldots$ малы в сравнении с $\mu$, то изменение частоты будет величиной второго порядка. Это стационарное (экстремальное) свойство дает хороший способ оценивать частоты собственных колебаний системы, пользуясь приближенными колебаниями принятого типа, в тех случаях, когда точное определение было бы трудным или даже непрактичным. Многие интересные примеры этого метода даны в книге \»Theory of Sound“ Рэлея. Эффект от наложения частичной связи может быть выяснен на основании замечания, сделанного в § 90. Мы можем предположить, что при соответственном преобразовании координат наложение связи выражается в обращении в нуль одной из них, например $q_{1}$. Частоты измененных колебаний будут тогда определяться корнями определителя $\Delta_{n-1}$, которые, как было показано, расположены между корнями определителя $\Delta_{n}$. В частности, самая низкая частота отпадает. Эффект от наложения дополнительной связи можно выявить, положив $q_{2}=0$. Тогда частоты определятся корнями определителя $\Delta_{n-2}$. Мы видим, что при наложении каждой дополнительной связи пропадает наименьшая частота системы. Это находится в согласии со сделанным в $\S 89$ замечанџем, что эффект от наложения связей выражается в увеличении пжесткогти “ системы. Пример 1. Рассмотрим случай трех равных масс, прикрепленных к натянутой нити на одинаковом расстоянии одна от другой ( $\$ 91$, пример 2), а именно рассмотрим симметричные колебания, при которых $y_{1}=y_{3}=\beta y_{2}$. Тогда Изложенный метод дает где $\mu=\frac{P}{m a}$. Діробь имеет экстремум при $\beta= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$, и соответствующие значения $\sigma^{2}$ будут те же, как и в $\S 91$. В этом стучае было наперед очевидно, что принятый тип колебаний заключает в себе три собсгвенные симметричные колебания. ПРимеР 2. Как нример с бесконечным числом стөпеней свободы рассмотрим задачу о колебаниях цепи, подвененной в вертикальном положении за өхин конец. Если через $y$ обозначим горизонтальное смещение на расстоянии $s$ (измеренном вдоль цепи от верхнего конца), то будем иметь: где $l$ означает полную длину. Высота каждой точки над ее положением равновесия увеличиваегся на где $\downarrow$ означает угол наклона к вертикали. Так как $\sin \psi=\frac{\partial y}{\partial s}=y^{\prime}$, то с точностью до величин второго порядка малости имеем: Возьмем следуюций тип колебаний: где $\eta$ зависит только от $t$. Для него получается: и, следовательно, Мы знаем, что каково бы ни было значение $\beta$, эта формула даст нам преувеличенную оценку частоты самых медленных келебаний. Если положим $\beta=0$, то мы получим период собственных колебаний упругого стержня, а именно: Наименьшее значение дроби, входяцей в формулу (11), составляет 1,4460, откуда Эга формула с точностью до единицы в последнем знаке у коэфициента совнадает с правильной формулой [(24) § 91]. Сравнение формул (12) и (13) илюстрирует правильность утверждения, что наложение на систему любой связи увеличивает частоту колебанић самого низкого тона.
|
1 |
Оглавление
|