Если ограничиться случаем полной устойчивости, как наиболее интересным, то предыдущие исследования показывают, что значения $\sigma^{2}$ при небольших изменениях отношений
\[
A_{1}: A_{2}: \ldots: A_{n}
\]

стационарны (т. е. имеют экстремальные значения). Точно так же, если представить себе, что путем наложения связей без трения число степеней свободы системы сведено к одной, так что предыдущие отношения имеют заданные величины, то частота колебаний будет средней между наибольшей и наименьшей собственными частотами системы.

Экстремальное (стационарное) свойство было замечено Лагранжем. Только что сделанное дополнительное замечание принадлежит Рэлею, который дает ему следующее доказательство, основанное на применении нормальных координат, введенных в § 92. Если, пользуясь обозначениями этого параграфа, мы положим:
\[
\theta=\mu \rho, \quad \theta^{\prime}=\mu^{\prime} \varphi, \quad \theta^{\prime \prime}=\mu^{\prime \prime} \varphi, \ldots,
\]

то выражения для кинетической и потенциальной энергии примут вид:
\[
\begin{array}{l}
2 T=\left(a \mu^{2}+a^{\prime} \mu^{\prime 2}+a^{\prime \prime} \mu^{\prime \prime 2}+\ldots\right) \dot{\varphi}^{2}, \\
2 V=\left(c \mu^{2}+c^{\prime} \mu^{\prime 2}+c^{\prime \prime} \mu^{\prime \prime 2}+\ldots\right) \varphi^{2},
\end{array}
\]

и, следовательно, частота колебаний системы с наложенными связями будет определяться при помощи формулы:
\[
\sigma^{2}=\frac{c \mu^{2}+c^{\prime} \mu^{\prime 2}+c^{\prime \prime} \mu^{\prime \prime 2}+\ldots .}{a \mu^{2}+a^{\prime} \mu^{\prime 2}+a^{\prime \prime} \mu^{\prime \prime 2}+\ldots} .
\]

Это количество представляет среднее значение между наибольшим и наименьшим из количеств
\[
\frac{c}{a}, \frac{c^{\prime}}{a^{\prime}}, \frac{c^{\prime \prime}}{a^{\prime \prime}}, \ldots
\]

относящихся к отдельным нормальным колебаниям. Кроме того, если колебание при наложении связей мало отличается от одного из нормальных, например, если $\mu^{\prime}, \mu^{\prime \prime}, \ldots$ малы в сравнении с $\mu$, то изменение частоты будет величиной второго порядка.

Это стационарное (экстремальное) свойство дает хороший способ оценивать частоты собственных колебаний системы, пользуясь приближенными колебаниями принятого типа, в тех случаях, когда точное определение было бы трудным или даже непрактичным. Многие интересные примеры этого метода даны в книге \”Theory of Sound“ Рэлея.

Эффект от наложения частичной связи может быть выяснен на основании замечания, сделанного в § 90. Мы можем предположить, что при соответственном преобразовании координат наложение связи выражается в обращении в нуль одной из них, например $q_{1}$. Частоты измененных колебаний будут тогда определяться корнями определителя $\Delta_{n-1}$, которые, как было показано, расположены между корнями определителя $\Delta_{n}$. В частности, самая низкая частота отпадает. Эффект от наложения дополнительной связи можно выявить, положив $q_{2}=0$. Тогда частоты определятся корнями определителя $\Delta_{n-2}$. Мы видим, что при наложении каждой дополнительной связи пропадает наименьшая частота системы. Это находится в согласии со сделанным в $\S 89$ замечанџем, что эффект от наложения связей выражается в увеличении пжесткогти “ системы.

Пример 1. Рассмотрим случай трех равных масс, прикрепленных к натянутой нити на одинаковом расстоянии одна от другой ( $\$ 91$, пример 2), а именно рассмотрим симметричные колебания, при которых $y_{1}=y_{3}=\beta y_{2}$. Тогда
\[
\left.\begin{array}{l}
T=\frac{1}{2} m\left(2 \beta^{2}+1\right) \dot{y}_{2}^{2}, \\
V=\frac{1}{2} \frac{p}{a}\left(4 \beta^{2}-4 \beta+2\right) y_{2}^{2} .
\end{array}\right\}
\]

Изложенный метод дает
\[
\sigma^{2}=\mu \cdot \frac{4 \rho^{2}-4 \beta+2}{2 \beta^{2}+1},
\]

где $\mu=\frac{P}{m a}$. Діробь имеет экстремум при $\beta= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$, и соответствующие значения $\sigma^{2}$ будут те же, как и в $\S 91$. В этом стучае было наперед очевидно, что принятый тип колебаний заключает в себе три собсгвенные симметричные колебания.

ПРимеР 2. Как нример с бесконечным числом стөпеней свободы рассмотрим задачу о колебаниях цепи, подвененной в вертикальном положении за өхин конец.

Если через $y$ обозначим горизонтальное смещение на расстоянии $s$ (измеренном вдоль цепи от верхнего конца), то будем иметь:
\[
2 T=\rho \int_{0}^{l} \dot{y}^{2} d s,
\]

где $l$ означает полную длину. Высота каждой точки над ее положением равновесия увеличиваегся на
\[
s-\int_{0}^{s} \cos \psi d s=2 \int_{0}^{s} \sin ^{2} \frac{\downarrow}{2} d s,
\]

где $\downarrow$ означает угол наклона к вертикали. Так как $\sin \psi=\frac{\partial y}{\partial s}=y^{\prime}$, то с точностью до величин второго порядка малости имеем:
\[
\begin{aligned}
2 V & =g \rho \int_{0}^{l} d s \int_{0}^{s} y^{\prime 2} d s= \\
& =g \rho\left[s \int_{0}^{s} y^{\prime 2} d s\right]_{0}^{l}-g \rho \int_{0}^{l} s y^{\prime 2} d s= \\
& =g \rho \int_{0}^{l}(l-s) y^{\prime 2} d s .
\end{aligned}
\]

Возьмем следуюций тип колебаний:
\[
y=\eta \frac{s}{l}\left(1+\beta \frac{s}{l}\right),
\]

где $\eta$ зависит только от $t$. Для него получается:

и, следовательно,
\[
\left.\begin{array}{rl}
2 T & =\rho l\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2} \beta+\frac{1}{5} \beta^{2}\right) \dot{\eta}^{2}, \\
2 V & =g \rho\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3} \beta+\frac{1}{3} \beta^{2}\right) \eta^{2},
\end{array}\right\}
\]
\[
\sigma^{2}=\frac{g}{l} \cdot \frac{15+20 \beta+10 \beta^{2}}{10+15 \beta+6 \beta^{2}} .
\]

Мы знаем, что каково бы ни было значение $\beta$, эта формула даст нам преувеличенную оценку частоты самых медленных келебаний. Если положим $\beta=0$, то мы получим период собственных колебаний упругого стержня, а именно:
\[
\frac{2 \pi}{\sigma}=5,130 \sqrt{\frac{l}{g}} .
\]

Наименьшее значение дроби, входяцей в формулу (11), составляет 1,4460, откуда
\[
\frac{2 \pi}{\sigma}=5,225 \sqrt{\frac{l}{g}} .
\]

Эга формула с точностью до единицы в последнем знаке у коэфициента совнадает с правильной формулой [(24) § 91].

Сравнение формул (12) и (13) илюстрирует правильность утверждения, что наложение на систему любой связи увеличивает частоту колебанић самого низкого тона.