Для определения положения твердого тела, могущего свободно вращаться около неподвижной точки, нам необходимы три координаты (§ 2), которые могут быть выбраны различным образом.
Система координат наиболее часто употребляемая при разрешении практических задач была в 1758 г. введена Эйлером. Она состоит в следующем.
Положение какой-либо определенной оси $O C$ (фиг. 32), неизменно связанной с телом, определяется двумя углами:
углом $\theta$ между осью $O C$ и неподвижной определенной осью $O Z$ в пространстве и углом \& между плоскостью $Z O C$ и какой-либо определенной плоскостью, тоже неподвижной в пространстве и проходящей через $O Z$.
Наконец, положение самого тела определяется еще углом $\varphi$, который составляет с плоскостью $Z O C$ какая-либо определенная плоскость, неизменно связанная с телом и проходящая через $O C$.

На прилагаемом чертеже (фиг. 32) представлены пересечения указанных осей и плоскостей со сферической поверхиостью с радиусом, равным единице, с центром в точке $O$. На чертеже изображены также и углы $\theta$, \& и $\varphi$ с принятым обычно направлением отсчета этих углов.

Описанная система кординат иллюстрируется подвесом Кардана, употребляемым в морском компасе и в обыкновенном гироскопе. В последнем приборе имеется тяжелое маховое колесо, могущее свободно вращаться вокруг диаметра круглой рамы, которая сама свободно вращается вокруг горизонтальной оси, составляющей прямой угол с осью колеса. Рама эта своими цапфами опирается на вертихальное кольцо, которое в свою очередь свободно вращается вокруг своего вертикального диаметра ${ }^{2}$ ).

Координата $\theta$ представляет здесь наклон оси махового колеса относительно вертикали, а угол $\psi$ определяет азимут вертикального кольца. Наконец, последняя координата $\varphi$ определяет положение маховика относительно его круглой рамы.

В астрономии та же система координат служит для определения положения Земли. Если ось $O Z$ на фиг. 32 представляет нормаль к плоскости эклиптики,
1) Другие доказательства приведены в „Дин мике“ автора, § 46.
2) См. рисунок в начале книги. Наружное вертикальное кольцо здесь неподвижно и служит только в качестве рамы, в которой подвижное вертикальное кольцо вращается на цапфах.

а ось $O C$ – полярную ось Земли, то $\theta$ означает наклонение эклиптики, а угол $\psi$ определяет положение прямой пересечения эклиптики с плоскостью экватора. Незначительное вековое изменение угла $\Psi$ (отрицательное при принятых нами направлениях отсчета) составляет явление прецессии или предварения равноденствий. Малые периодические колебания значений $\theta$ и $\psi$ называются „нутациями“.

Проведем в плоскости $Z O C$ прямую $O A^{\prime}$ под прямым углом к $O C$, затем прямую $O B^{\prime}$ нормальную этой плоскости, в таком направлении, чтобы отрезки $O A^{\prime}, O B^{\prime}$ и $O C^{\prime}$ образовали правую систему координатных осей. Выразим составляющие $p^{\prime}, q^{\prime}$ и $r^{\prime}$ угловой скорости через скорости изменения углов Эилера $\theta$, $\psi$ и $\varphi$, т. е. через производные по времени $\dot{\theta}, \dot{\psi}$ и $\dot{\varphi}$.

Если бы угол $\theta$ оставался постоянным, то точки $C$ и $A^{\prime}$ описывали бы с угловой скоростью \& на сфере радиуса единица окружности с радиусами, равными соответственно $\sin \theta \cdot$ и $\cos \theta$.

Следовательно, скорость движущейся вместе с телом точки $C$ в нормальном направлении к дуге $Z C$ равна:
\[
p^{\prime}=-\sin \theta \dot{i} .
\]

Скорость же $C$ в касательном направлении к той же дуге равна $\dot{\theta}$, т. е.
\[
q^{\prime}=\dot{\theta} .
\]

Определение третьей составляющей $r$ не так просто, потому что точка $A^{\prime}$ (в противоположность точке $C$ ) не связана неизменно с телом.

Точка тела, которая совпадает в данное мгновение с точкою $A^{\prime}$, имеет относительную скорость по отношению к этой точке. Составляющая ее, нормальная к плоскости окружности $Z C A^{\prime}$, равна $\dot{\text {. }}$. В то же время сама точка $A^{\prime}$ имеет скорость в том же направлении, равную $\cos \theta \dot{\psi}$. Таким образом
\[
r=\dot{\varphi}+\cos \theta \dot{\psi} .
\]

Иногда удобнее пользоваться осями координат $O A$ и $O B$, неизменно связанными с телом. В таком случае в качестве угла 9 можно принять угол, составляемый плоскостями $C O A$ и $Z O C$. Разлагая скорость точки $C$ по направлениям вдоль касательных к дугам $B C$ и $C A$, найдем:
\[
p=\dot{\theta} \sin \varphi-\sin \theta \dot{\varphi} \cos \varphi, q=\dot{\theta} \cos \varphi+\sin \theta \dot{\psi} \sin \varphi \text {. }
\]

Значение $r$ остается то же (3).
Определяя непосредственно из равенств (4) скорость точки $C$ вдоль дуги $Z C$ или в нормальном к ней направлении, получим:
\[
\dot{\theta}=p \sin \varphi+q \cos \varphi, \sin \theta \dot{\varphi}=-p \cos \varphi+q \sin \varphi .
\]

Предыдущие формулы особенно удобны, когда тело имеет кинетическую (динамическую) симметрию относительно какой-нибудь оси. Если $O C$ есть эта ось симметрии, то главные моменты инерции относительно оссй, перпендикуларных к $O C$ и проходящих через $O$, будут все равны. Мы имеем тогда:
\[
2 T=A\left(p^{\prime 2}+q^{2}\right)+C r^{2}=A\left(\dot{\theta}^{2}+\sin ^{2} \theta \dot{\dot{\psi}^{2}}\right)+C r^{2} .
\]

Момент количества движения тела относительно неподвижнои оси $O Z$ будет равен:
\[
A p^{\prime} \cos Z A^{\prime}+A q^{\prime} \cos Z B^{\prime}+C r \cos Z C=A \sin ^{2} \theta \dot{\psi}+C r \cos \theta,
\]

а момент количеств движения тела относительно оси, лежащей в плоскости $Z O C$, перпендикулярной к $O Z$, будет равен:
\[
\begin{array}{c}
A p^{\prime} \cos \theta+C r \sin \theta= \\
-A \sin \theta \cos \theta \dot{\psi}+C r \sin \theta
\end{array}
\]

Фиг. 33.
фиг. 34.

Чтобы получить случай сферического маятника, в формулах (6) и (7) следует положить $C=0$ ( $Д$ Динамика“, $\S .102,103$ ).

Пример 1. Для движения глаза, рассмотренного в § 4, можно ь качестве оси $O Z$ принять начальное положение оси зрения, а в качестве $O C$ »юбое ее последующее положение. Если $C A$ есть меридиан глаза, совпадающић в первоначальном положении с тем кругом, начиная от которого отсчитывается угол $\psi$, то закон Листинга выражается равенством
\[
\varphi=-\psi \text {. }
\]

Следовательно, при малом перемещении оси зрения от ее положения $O C$, глазное яблоко испытывает вращение около $O C$, равное на основании равенства (3)
\[
\text { – }(1-\cos \theta) \grave{a} \text {. }
\]

Если перемещение точки $C$ в направлении, составляющем угол $\chi$ с продолжением дуги $Z C$, равно $\delta$, то мы имеем:
\[
\boldsymbol{\operatorname { s i n }} \theta \hat{\mathrm{y}} \mathrm{y}=\delta \mathrm{sin} \gamma
\]

и указанное вращение имеет выраженге:
\[
-\operatorname{tg} \frac{\theta}{2} \sin \%^{\delta} s \text {. }
\]

Пример 2. Найти соотношение, связывающее угловые скорости в шарнире Гука.

Это приспособление служит для передачи вращения от одного вала к другому, оси которых лежат в одной плоскости, но составляют угол $\theta$ между собои. Приложенные фиг. 33 и 34 в достатсчной мере объясняют его действие. На чертеже нанесены точки пересечения различных прямых со сферой радиуса, равного единице, и с центром $O$ на пересечении осен обоих валов.

Так, $O X$ и $O Y$ представляют оси обоих валов, а $O A$ и $O B$ – оси шарнира. Большие круги, описываемые точками пересечения $A$ и $B$, соответственно пересекаются между собою в точке $C$. Дуга $A B$ равна $\frac{\pi}{2}$, а потому из сфери. ческого треугольника $A B C$ мы имеем:
\[
\sin a \sin b-\cos a \cos b \cos \theta=0
\]

ияи
\[
\operatorname{tg} a \operatorname{tg} b=\cos \theta .
\]

Угол $\theta$ – постоянның, мы находим, следовательно, для отношения угловых скоростей второго и первого валов следующее значение:
\[
-\frac{\dot{a}}{\dot{b}}=\frac{\cos ^{2} a \cos \theta}{\sin ^{2} b}=\frac{\cos \theta}{1-\cos ^{2} b \sin ^{2} \theta} .
\]

Это отношение меняется за время одного оборота первого вала вокруг $O X$, колеблясь между двумя значениями, равными $\cos \theta$ и sec $\theta$. При очень мялом значении угла $\theta$ это отношение отличается от единицы только на малую величину второго порядка.

Универсальным (гибким) шарниром в полном смысле этого слова был бы такой, который мог бы передавать угловую скорость одного вала другому независимо от угла $\theta$ между их осями. Томсон и Тэт (Natural Philosophy, § 109) указали, что это условие выполняется с очень большой степенью точности короткой проволокой, концы когорой прилажены аксиально к валам.

П р име р 3. Рассмотрим маятник, подвешенный к вертикальному стерженьку посредством совершенного универсального шарнира. Требуется определить выражения для составляющих угловых скоростей. Мы отсылаем читателя к фиг, 32, на которой ось $O Z$ предполагается направленной по вертикали вниз.

Если изменяется только один угол $\theta$ наклона оси маятника, то составляющие вращения вдоль осей $O A^{\prime}, O B^{\prime}$ и $O C$, очевидно, будут равны соответственно:
\[
0, i \theta, 0 \text {. }
\]

Если же стерженек и маятник повернуть совместно как связанные неизменно друг с другом на азимутальный угол $\partial \psi$, то $\delta \varphi=0$, и составляющие вращения будут равны:
\[
-\sin \theta \ddot{\psi}, 0, \cos \theta \partial \psi \text {. }
\]

Наконец, оставляя неизменным это направление оси маятника, возвратим обратно стержень в его начальное положение. Этому будут соответствовать вращения
\[
0,0,-8 \psi \text {. }
\]

Таким образом при неподвижности стержня составляющие угловой скорости будут равны:
\[
p^{\prime}=-\sin \theta \dot{,}, \quad q^{\prime}=\hat{\theta}, \quad r=-(1-\cos \theta) \psi .
\]

С другой стороны, если бы стержень вращался с угловой скоростью $\omega$, то мы имели бы:
\[
p^{\prime}=-\sin \theta \dot{\psi}, \quad q^{\prime}=\theta, r=\omega-(1-\cos \theta) \dot{\psi} .
\]