Мы начнем с рассмотрения очень простого случая, который, однако, может иллюстрировать основные особенности гироскопических явлений. Исслеууем, какие необходимы реакции свяени, чтобы ось махового колеса вращалась сама в одной плоскости с постоянной угловой скоростью равной $\psi$.

Возьмем эту плоскость за плоскость чертежа. За промежуток времени $\delta t$ вектор $\mathrm{OH}$, изображающии момент количеств движения (Cn) махового колеса, повернется на угол $\delta џ$ и примет положение $\mathrm{OH}^{\prime}$. Момент $A \biguplus$ количеств движения относительно нормали к плоскости чертежа
фиг. 43.

не изменится. Следовательно, вектор $\mathrm{HH}^{\prime}$, величина которого равна Cn出, представляет полное приращение момента количеств движения под денствием реакций связи, т. е. представляет импульс этих сил. Разцелив на $\delta t$, мы найдем, что искомые силы сводятся к паре сил с моментом $C n$ относительно оси, лежащей в плоскости чертежа и першендикулярной к оси колеса. В случае, изображенном на чертеже, эта пара состоит из двух равных по величине реакций, противоположных по направлению и нормальных к чертежу, с которыми поддерживающая рама действует на цапфы.

При отсутствии таких реакцнй связи, всякая попытка повернуть ось колеса указанным способом (например, поворачивая вертикальный круг гироскопа, но оставляя свободным второй круг) поведет к тому, что положительный конец оси вращения приблизится к положительному концу той оси, вокруг которой производится поворот. Это один из наиболее простых и разительных опытов, которые могут быть сделаны с обыкновенным гироскопом.

По той же причине нос аэроплана будет опускаться вниз при повороте аэроплана направо и, наоборот, подниматься кверху при повороте влево, если вращение пропелера при рассматривании со сторонь летчика будет правым.

Более общий случай вынужденного прецессионного движения почти столь же прост. Предположим, что мы заставляем ось махового колеса описывать конус около оси $O Z$ с половиной угла у вершины равной $\theta$ (фиг. 32). Мы видели в § 33, что момент количеств движения махового колеса будет иметь составляющую вдоль оси $O Z$, равную
\[
A \sin ^{2} \theta \dot{\psi}+C n \cos \theta \text {, }
\]

а вдоль перпендикулярной к $O Z$ оси в плоскости $Z O C$ составляющую равную
\[
-A \sin \theta \cos \theta \dot{\psi}+C n \sin \theta \text {. }
\]

Угол $\theta$ предполагается постоянным, а потому составляющая вдоль $O B^{\prime}$ равна нулю. Предыдушие выводы будут приложимы, если мы предположим, что $\mathrm{OH}$ (фиг. 43) изображает составляющую (2), которая одна только является переменной.
Следовательно, искомый момент вынуждающей пары равен
\[
M=-A \sin \theta \cos \theta \dot{\psi}^{2}+C n \sin \theta \dot{\psi}
\]

и направлен вдоль $O B^{\prime}$.
Когда он положителен, он противодействует приближению $O C$ к оси $O Z$.
Как на частный пример, когда пара состоит из силы тяжести и противоположной силы реакции, можно указать на волчок или на гироскоп, центр тяжести которого ниже опорной точки. Если центр тяжести лежит на оси $O C$ в расстоянии $h$ от $O$, то искомый момент равен
\[
M=M_{0} g h \sin \theta,
\]

где $M_{0}$ есть масса махового колеса, причем ось $O Z$ является теперь вертикалью с положительным направлением вверх.

Подставляя это выражение в равенство (3) и оставляя без внимания тририальные случаи $\theta=0$ и $\theta=\pi$, мы найдем в качестве условия для равномерного прецессионного движения следующее уравнение:
\[
A \cos \theta \dot{\psi}^{2}-C n \dot{\psi}+M_{0} g h=0 .
\]

При заданном значении угла $\theta$ это будет квадратным уравнением относн-
\[
n^{2}>\frac{4 A M_{0} g h \cos \theta}{C^{2}} .
\]

Это условие всегда удовлетворено, если $\theta>\frac{\pi}{2}$, т. е. если центр тяжести лежит ниже уровня неподвижной точки, как и в случае гироскопического маятника ( $\$ 58$ ).
При большом значешии $\theta$ корни стремятся к значениям:
n
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{\psi}=\frac{C n}{A \cos \theta}, \\
\dot{\psi}=\frac{M_{\omega} g h}{C n} .
\end{array}\right\}
\]

Соответствующие типы движения известны под названиями „скорой“ и „медленной“ прецессии. Первый тип, практически тождественен свободной нутации Эйлера, рассмотренной в § 47 Ћ 50 , так как сила тяжести очень мало влияет на движение. Пример медленной прецессии мы имеем в случае обыкновенного быстро вращающегося волчка. В случае гироскопа с центром тяжесги ниже $O$,медленная“ прецессия имеет обратный ход, что может быть обнаружено простым изменением знака $h$.

Пример1. Тело вращения может свободно вращаться вокруг точки $O$, лежащей на его оси. Найти условие установившегося (перманентного) вращения вокруг вертикали, проведенной через $O$ вверх.
При предыдущих обозначениях мы теперь имеем:
\[
n=\dot{\psi} \cos \theta \text {. }
\]

Следоватедьно, из равенств (3) и (4) выводим:
\[
M_{0} g h \sin \theta=(C-A) \sin \theta \cos \theta \dot{\psi}^{2} .
\]

Отбрасывая очевидные решения $\theta=0$ и $\theta=\pi$, имеем:
\[
\cos \theta=\frac{M_{0} g h}{(C-A) \psi^{2}} .
\]

Этот случай может быть осуществлен, если подвесить тело в точке $O$ к горизонтальной оси, а затем вращать последнюю в горизонтальной плоскости с заданной угловой скоростью $\Varangle$.
Если неравенство
\[
\psi^{2}>\frac{M_{0} g h}{|C-A|}
\]

не удовлетворяется, то возможны только вертикальные положения прямой $O G$. Если $A>C$, например в случае тонкого сгержня, то $\cos \theta$ отрицателен, т. е. точка $G$ должна быть ниже уровня точки $O$.

Приме р 2. Определить условие, необходимое для того, чтобы колесо могло катиться, как в примере $\S 29$, по окружности под действием силы тяжести и реакции, приложенной в точке соприкосновения с землей.

Ускорение центра масс в направлении к центру описываемой окружности при принятых нами обозначениях равно $c \dot{\psi}$. . Сила реакции будет слагаться из горизонтальной силы, направленной к центру окғужности, равной $M_{0} \psi^{2}$, и вертикальной, направленной вверх, равной $M_{6} g$. Момент относительно горизюнтального диаметра колеса будет равен
\[
M=M_{\downarrow} c \dot{\psi}^{2} a \sin \theta-M_{\theta} g a \cos \theta .
\]

Далее, имеем кинематическое условие
\[
c \dot{\psi}=-n a .
\]

Подставляя в равевство (3), находим :
\[
\left(C+M_{0} a^{2}+\frac{A a}{c} \cos \theta\right) \dot{\psi}^{2}=\frac{M_{0} g a^{2}}{c} \operatorname{ctg} \theta .
\]