Теперь мы займемся теми же математическими соотношениями, какие мы имели в теории движения с заданными ‘начальными скоростями и импульсами ( $\mathrm{\$}\mathrm{\$}75,76$ ); теоремы, там доказанные, имеют, соответствующие аналоги и в рассматриваемом случае ${}^1$ ). Так, мы имеем взаимное соотношение:
$$Q_1{q}_1^{\prime }+Q_2{q}_2^{\prime }+\dots +Q_n{q}_n^{\prime }=Q_1^{\prime }{q}_1+Q_2^{\prime }{q}_2+\dots +Q_n^{\prime }{q}_n,$$

между силами и перемещениями в двух разных случаях, причем каждое из написанных выражений равно следующему:
$$c_{11}{q}_1{q}_1^{\prime }+c_{22}{q}_2{q}_2^{\prime }+\dots +c_{19}(q_1{q}_2^{\prime }+q_1^{\prime }{q}_2)+\dots$$

В частности, если все силы, за исключением $Q_r,Q_s^{\prime }$ обращаются в нуль, то мы имеем:
$$\frac{q_s}{Q_r}=\frac{q_r^{\prime }}{Q_s^{\prime }}.$$

Если обе координаты, рассматриваемые здесь, одного типа, например, обе представляют линейные размеры или представляют углы, то теорема утверждает, что перемещение типа $s$, производимое силой типа $r$, равно перемещению типа $r$; производимому силой типа $s$

Наиболее интересны приложения этих теорем к системам е бесконечным числом степеней свободы, на которые теоремы распространяются по аналогии. Теория упругости дает ряд примеров, некоторые из которых оказались полезными в статике сооружений („Статка“, § 142).
1) Cм. Rayleigh, Theory of Sound, гл. IV,

Так, если груз $W$, подвешенный к точке $A$ горизонтальной балки, производит в точке $B$ прогиб $y$, то тот же груз $W$, подвешенный в точке $B$, прбизведет равный прогиб в точке $A$. Далее, если изгибающий момент $M$, приложенный в точке $A$, производит поворот на угол $\theta$ в точке $B$, то равный момент $M$, приложенный в точке $B$, произведет поворот на угол $\theta$ в точке $A$. Наконец, еели момент $M$, приложенный в точке $A$, производит прогиб $y$ в точке $B$, то сила $\frac{M}{a}$, приложенная в точке $B$, произведет поворот на угол $\frac{y}{a}$ в точке $A$.

Выводы такого рода можно, конечно, обосновать непосредственно, но часто лишь после утомительных выкладок.