Теперь мы займемся теми же математическими соотношениями, какие мы имели в теории движения с заданными ‘начальными скоростями и импульсами ( $\$ \$ 75,76$ ); теоремы, там доказанные, имеют, соответствующие аналоги и в рассматриваемом случае ${ }^{1}$ ). Так, мы имеем взаимное соотношение:
\[
Q_{1} q_{1}^{\prime}+Q_{2} q_{2}^{\prime}+\ldots+Q_{n} q_{n}^{\prime}=Q_{1}^{\prime} q_{1}+Q_{2}^{\prime} q_{2}+\ldots+Q_{n}^{\prime} q_{n},
\]

между силами и перемещениями в двух разных случаях, причем каждое из написанных выражений равно следующему:
\[
c_{11} q_{1} q_{1}^{\prime}+c_{22} q_{2} q_{2}^{\prime}+\ldots+c_{19}\left(q_{1} q_{2}^{\prime}+q_{1}^{\prime} q_{2}\right)+\ldots
\]

В частности, если все силы, за исключением $Q_{r}, Q_{s}^{\prime}$ обращаются в нуль, то мы имеем:
\[
\frac{q_{s}}{Q_{r}}=\frac{q_{r}^{\prime}}{Q_{s}^{\prime}} .
\]

Если обе координаты, рассматриваемые здесь, одного типа, например, обе представляют линейные размеры или представляют углы, то теорема утверждает, что перемещение типа $s$, производимое силой типа $r$, равно перемещению типа $r$; производимому силой типа $s$

Наиболее интересны приложения этих теорем к системам е бесконечным числом степеней свободы, на которые теоремы распространяются по аналогии. Теория упругости дает ряд примеров, некоторые из которых оказались полезными в статике сооружений („Статка“, § 142).
1) Cм. Rayleigh, Theory of Sound, гл. IV,

Так, если груз $W$, подвешенный к точке $A$ горизонтальной балки, производит в точке $B$ прогиб $y$, то тот же груз $W$, подвешенный в точке $B$, прбизведет равный прогиб в точке $A$. Далее, если изгибающий момент $M$, приложенный в точке $A$, производит поворот на угол $\theta$ в точке $B$, то равный момент $M$, приложенный в точке $B$, произведет поворот на угол $\theta$ в точке $A$. Наконец, еели момент $M$, приложенный в точке $A$, производит прогиб $y$ в точке $B$, то сила $\frac{M}{a}$, приложенная в точке $B$, произведет поворот на угол $\frac{y}{a}$ в точке $A$.

Выводы такого рода можно, конечно, обосновать непосредственно, но часто лишь после утомительных выкладок.