Если на систему действуют внешние силы, то мы можем обозначить их обобщенные компоненты через $Q_1,Q_2,\dots ,Q_n$. Мы должны теперь к правой части уравнения (1) $\mathrm{\S }86$ добавить член $Q_r$.

В соответствии с этим условия равновесия будуг выражаться $n$ равенствами типа:
$$Q_r=\frac{\partial V}{\partial q_r}.$$

Эти равенства непосредственно определяют системы сил, необходимых для сохранения определенных перемещений и, наоборот, ими, конечно, можно воспользоваться для нахождения статических перемещений, произведеныых данными силами (§89).

Если перемещения незначительны, то удобно преобразовать координаты $q_1,q_2,\dots ,q_n$ (например путем добавления надлежащих констант) так, чтобы они при невозмущенной копфигурации обращались в нуль. Тогда с приближением, достаточным для многих целей, потенциальная энергия может быть представлена выражением вида:
$$2V=c_{11}{q}_1^2+c_{22}{q}_2^2+\dots +2c_{12}{q}_1{q}_2+\dots$$

Постоянный член в этом выражении не имеет значения, так как он из уравнения (1) исчезнет а члены первого порядка не могут входить, так как по предположению уравнения (3) предыдущего парагғафа должны удовлетворяться нулевыми значениями координат ${}^2$ ).
Далее на основании (1) мы имеем:
$$Q_r=c_{1r}{q}_1+c_{21}{q}_2+\dots +c_{n\tau }{q}_n.$$

Систему, в которой силы призяты линейными функциями от перемещений (из состоліия равновесия) с погтоянными коэфициечтами, можно по аналогии назвать упругой системой, так как такого рода соотношение обычно принимается за основной закон теории упругости. Постоянные $c_{rr}$, $c_{rs}$ можно назвать, \»коэфициентами упругости “ или (по причине, которая сенчас выяснится) пкоэфициентами устоичивости“.
1) Эта аргументация принадлежит Кельвину: см. Thoms on and Tait, Natural Philosophy, 2-е изд., $\mathrm{\$}{315}_{ii}$.
2) Для устоничивости необходимо, чтобы выражение (2) было существенно положитеяьным. Следовательно, коэфициенты $c_{rr},c_{rs}$ подчинены определенным алгебраическим ограңнчениям, подобным тем, какие наложены на коэфициенты $a_{rr},a_{rs}$ в $\mathrm{\$}73$,

Из формул (2) и (3) мы выводим:
$$V=\frac{1}{2}(Q_1{q}_1+Q_2{q}_2+\dots +Q_n{q}_n).$$

Эта формула имеет интересное подтверждение. Предположим, что силы постепенно увеличиваются о? нуля до их конечных значений $Q_1,Q_2,\dots ,Q_n$, сохраняя все время одно и то же отношение одна к другой, так что их значения в любой стадии процесса равны $\theta Q_1,\theta Q_2,\dots ,\theta Q_n$, где $\theta$ изменяется от 0 до 1 . Соответствующие значения координат будут $\theta q_1,\theta q_2,\dots ,\theta q_n$. Следовательно, если ограничиться рассмотрением одной координаты, элементарная работа будет выражаться формулой:
$$\theta Q_r\cdot \delta \left(\theta q_r\right)=Q_r{q}_r{}^{\theta }\delta \theta .$$

Таким образом полная работа будег:
$$(Q_1{q}_1+Q_2{q}_2+\dots +Q_n{q}_n){\int }_0^1\theta d\theta .$$

Так как работа, произведенная системой, эквивалентна потенциальноћ энергии, то получается результат (4).