Сперва мы рассмотрим такую систему, всевозможные конфигурации которой могут быть полностью охарактеризованы $n$ независимыми координатами $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$.

По определению количества $\delta x, \delta y, \delta z$ изменяются вместе с временем; важно заметить, что операции $\delta$ и $\frac{d}{d t}$ обладают свойством коммутативности (переместительности). Например:
\[
\delta \dot{x}=\frac{d}{d t}(x+\delta x)-\frac{d x}{d t}=\frac{d}{d t} \delta x .
\]

Следовательно,
$\sum m(\ddot{x} \delta x+\ddot{y} \delta y+\ddot{z} \delta z)=$
\[
=\frac{d}{d t} \sum m(\dot{x} \delta x+\dot{y} \hat{\delta} y+\dot{z} \delta z)-\sum m(\dot{x} \dot{x} \dot{x}+\dot{y} \hat{y} \dot{y}+\dot{z} \dot{\delta} \dot{z}) .
\]

формулы для $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$, выраженных через обобщенные координаты и скорости, были выписаны в § 73. Точно так же мы имеем:
\[
\left.\begin{array}{c}
\delta x=\frac{\partial x}{\partial q_{1}} \delta q_{1}+\frac{\partial x}{\partial q_{2}} \delta q_{2}+\ldots+\frac{\partial x}{\partial q_{n}} \delta q_{n}, \\
\delta y=\frac{\partial y}{\partial q_{1}} \delta q_{1}+\frac{\partial y}{\partial q_{2}} q_{2}+\ldots+\frac{\partial y}{\partial q_{n}} \delta q_{n} \\
\delta z=\frac{\partial z}{\partial q_{1}} \delta q_{1}+\frac{\partial z}{\partial q_{2}} \delta q_{2}+\ldots+\frac{\partial z}{\partial q_{n}} \delta q_{n}
\end{array}\right\}
\]

Если произвести подстановку в выражение
\[
\sum m(\dot{x} \delta x+\dot{y} \delta y+\dot{z} \delta z)
\]

то коэфициент перед $\delta q_{r}$ будет иметь вид:
\[
\sum m\left(\dot{x} \frac{\partial x}{\partial q_{r}}+\dot{y} \frac{\partial y}{\partial q_{r}}+\dot{z} \frac{\partial z}{\partial q_{r}}\right)=a_{i r} \dot{q}_{1}+a_{2 r} \dot{q}_{2}+\ldots+a_{n r} \dot{q}_{n},
\]

при обозначениях $\S 73$.
Следовательно, введя как прежде, обозначение
\[
p_{r}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}
\]

будем иметь:
\[
\sum m(\dot{x} \delta x+\dot{y} \dot{\delta} y+\dot{z} \hat{\delta} z)=\sum_{r} p_{r} \delta q_{r},
\]

где $\sum_{r}$ означает суммирование по всем значениям $r$ от 1 до $n$. Эта формула является основной.
далее
\[
\begin{aligned}
\sum m(\dot{x} \dot{x}+\dot{y} \hat{y}+\dot{z} \dot{\delta} \dot{z}) & =\delta \sum \frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)= \\
& =\delta T=\sum_{r}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}} \delta \dot{q}_{r}+\frac{\partial T}{\partial q_{r}} \delta q_{r}\right) .
\end{aligned}
\]

Произведя подстановку из (7) и (8) в (2) и опуская члены, исчезающие на основании формулы (6), получим:
\[
\sum m(\ddot{x} \delta x+\ddot{y} \hat{y} y+\ddot{z} \delta z)=\sum_{r}\left(\frac{d p_{r}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial q_{r}} \delta q_{r}\right) .
\]

При обозначениях обобщенных сил, принятых в § 77 , мы будем иметь:
\[
\Sigma(X \hat{\partial} x+Y \hat{\delta} y+Z \delta z)=\sum_{r} P_{r} \delta q_{r} .
\]

Таким образом уравнение (2) § 101 преобразуется в следующее:
\[
\sum_{r}\left(\frac{d p_{r}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}-P_{r}\right) \delta q_{r}=0 .
\]

Так как количества $\delta q_{r}$ соверценно независимы, то из равенства (11) вытекает:
\[
\frac{d p_{r}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=P_{r},
\]

что представляет типичное уравнение Лагранжа (§ 77). Вывод, данный теперь, в сущности тот же, при помощи которого эти уравнения были первоначально получены.

Если геометрические связи нестационарны (т. е. с течением времени изменяются), то мы должны воспользоваться выражениями $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$, данными в (2) § 79. Мы найдем, что коэфициент перед $\delta q_{r}$ после преобразования (4) будет
\[
a_{r}+a_{1 r} \dot{q}_{1}+a_{2 r} \dot{q}_{9}+\ldots+a_{n r} \dot{q}_{n} .
\]

Следовательно,
\[
\sum m(\dot{x} \delta x+\dot{y} \delta y+\dot{z} \delta z)=\sum_{r} p_{r} \delta q_{r}
\]

где
\[
p_{r}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}},
\]

так как теперь $T$ имеет вид, данный в (3) § 79. Остальные зыводџ получаются так же, как и прежде.