Количества движения материальных точек любой системы образуют систему скользящих векторов, которую можно заменить ${ }^{1}$ ), применяя различные способы, другими системами, имеющими ту же геометрическую сумму и тот же момент относительно какой-либо произвольной оси.

Мы можем, например, привести систему к одному скользящему вектору- „количества движения системы “ ( $\xi, \eta, \zeta)$, — проходящему через
1) Но в механическом смысле новые системы вполне эквивалентны начальпым только в случае твердого тела, хотя подобная замена производится и оказывается полезной во многих других случаях. Прим. ред.

произвольно заданную точку $O$, и к свободному вектору – „главному моменту количеств движения\” ( $\lambda, \mu, v)$ – относительно $O$. Вектор количества движения системы определяется по величине и направлению геометрической суммой векторов количеств движения отдельных материальных точек и потому не зависит от положения точки $O$. Главный же момент количеств движения в общем случае меняется с изменением положения $O$.

Аналитический процесс приведения совершенно тот же, что и для системы сил в $\S 19$.

Приняв прямоугольную систему координат с началом в точке $O$, мы получим для составляющих количеттва движения системы выражения:
\[
\xi=\Sigma(m \dot{x}), \eta=\Sigma(m \dot{y}), \zeta=\Sigma(m \dot{z}),
\]

где $(x, y, z)$ – координаты любой точки с массою $m$, а суммирование производится по всем точкам системы.

Составляющие главного момента количеств движения относительно $O$ являются просто суммами моментсв количеств движения всех точек относительно осей координат, называемыми главными моментами количеств движения относительно осен, т. е.
\[
\lambda=\Sigma m(y \dot{z}-z \dot{y}), \mu=\Sigma m(z \dot{x}-x \dot{z}),
u=\Sigma m(x \dot{y}-y \dot{x}) .
\]

Приведение легко сделать в случае твердого тела, вращающегося около неподвижной точки. В этом случае нам приходится иметь дело преимущественно с главным моментом количеств движения, который мы будем часто называть просто моментом количеств движения тела. Принимая неподвижную точку за начало координат и подставляя из выражении (5) $\S 28$ значения $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$, мы получаем, например:
\[
\begin{aligned}
\Sigma\{m(y \dot{z}-z \dot{y})\} & =\Sigma\{m y(p y-q x)-m z(r x-p z)\}= \\
& =\Sigma\left\{m\left(y^{2}+z^{2}\right)\right\} p-\Sigma(m x y) q-\Sigma(m x z) r .
\end{aligned}
\]

Следовательно, моменты количеств движения тела относительно координатных осей будут
\[
\lambda=A p-H q-C r, \mu=-H p+B q-F r,
u=-G p-F q+C r,
\]

где $A, B, C, F, G, H$, – моменты и произведения инерции относительно осей координат (§25).

Когда оси координат совпадают с главными осями инерции для точки $O$, эти выражения сводятся к следующим:
\[
\lambda=A p, \mu=B q,
u=C r .
\]

Существует одно очень важное геометрическое соотношение между направлением главного момента количеств движения тела относительно точки $O$ и мгновенной осью вращения. Предположим для простоты, что в качестве осей координат прнняты главные оси инерции. Направляющие косинусы мгновенной оси вращения равны $\frac{p}{\omega}, \frac{q}{\omega}, \frac{r}{\omega}$, cледовательно, вектор $A p, B q, C r$ нормален к той диаметральной плоскости эллипсоида инерции
\[
A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}=M \varepsilon^{4},
\]

которая является сопряженной с мгновенной осью вращения. Иными словами, плоскость, перпендикулярная к главному моменту количеств движения, сопряжена с направлением мгновенной оси вращения. Направление главного момента количеств движения совпадает с мгновенной осью вращения только в том случае, когда $A=B=C$, т. е. в случае полной кинетической симметрии относительно точки $O$.

Во всех без исключения случаях количество движения системы останется без изменения, если мы всю массу тела сосредоточим в центре масс и сообщим ей скорость, равную скорости этой точки тела.

Действительно, обозначая через $\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}$, координаты центра масс $G$ и полагая
\[
x=\bar{x}+\alpha, y=\bar{y}+\beta, z=\bar{z}+\gamma,
\]

мы получим:
\[
\sum(m \dot{x})=\frac{d}{d t} \sum(m x)=\frac{d}{d t} \sum\{m(\bar{x}+\alpha)\}=\sum(m) \frac{d \bar{x}}{d t},
\]

так как $\sum(m \alpha)=0$. То же получим и для других составляющих $\left.{ }^{1}\right)$.
Слсдовательно, если твердое тело вращается вокруг неподвижной точки, совпадающей с центром масс, то количество движения системы равно нулю.