1. Принимая на основании теоремы Делоне (§ 76), что энергия свободного твердого тела, приведенного в движение импульсивной парой с моментом $(\lambda, \mu, v)$, является максимальной, доказать, что при выборе за оси координат главных центральных осей инерции компонентами угловой скорости будут
\[
\frac{\lambda}{A}, \frac{\mu}{B}, \frac{
u}{C} \text {. }
\]

2. Принимая в случае двух степеней свободы формулу:

доказать, чго
\[
\begin{array}{c}
2 T=a_{11} \dot{q}_{1}^{2}+2 a_{12} \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+a_{22} \dot{q}_{2}^{2}, \\
2 T=\frac{a_{22} p_{1}^{\frac{2}{2}}-2 a_{12} p_{1} p_{2}+a_{11} p_{2}^{2}}{\epsilon_{11} a_{22}-a_{12}^{2}},
\end{array}
\]

и проверить справедливость сооткошений:
\[
\dot{q}_{1}=\frac{\partial T}{\partial p_{1}}, \quad \dot{q}_{2}=\frac{\partial T}{\partial p_{2}}, \quad \frac{\partial T}{\partial q_{1}}=-\frac{\partial T}{\partial q_{1}}, \quad \frac{\partial T}{\partial q_{2}}=-\frac{\partial T}{\partial q_{2}} .
\]
3. Доказать, что при обозначениях § 81
rде $\Delta$ означает дискриминант $T$.
4. В вагоне с массою $M$ подвешен маятник с массою $m$, имеющи дй длину $l$, который может качаться в направлении движения вагона. Пусть $\dot{x}$ означает скорость вагона, а $\theta$ – угол наклона маятника к вертикали. Доказать, что
\[
2 T=(M+m) \dot{x}^{2}+2 m l \cos \theta \dot{x} \dot{\theta}+m l^{2} \dot{\theta}^{2} .
\]

Пусть $\xi, x$ будут компонентами импульса, относящимися к координатам $x$ и $\theta$. Доказать, что
\[
2 T=\frac{m l^{2} \xi^{2}-2 m l \cos \theta \xi x+(M+m) x^{2}}{m^{2}\left(M+m \sin ^{2} \theta\right)} .
\]

Выразить кинетическую энергию: 1) через $\xi$ и $\dot{\theta}$ и 2) через $\dot{x}$ и $x$; подтвердить правильность теорем Бертрана (Делоне) и Кельвина.
5. Материальная точка движется в плоскости $x y$ с ускорением $\mu$ r, направленным к началу координат, где $r$ означает радиус-вектор. Составить уравнения Лагранжа в координатах $\xi$, $\eta$, определяемых равенствами:
\[
x=c \operatorname{ch} \xi \cos \eta, y=c \operatorname{sh} \xi \sin \eta ;
\]

и проверить, что этим уравнениям удовлетворяют
\[
\xi=\text { const. }, \dot{\eta}= \pm \sqrt{\mu} .
\]

Исследовать случай, когда центральная сила отталкивательная.
6. Твердое тело с одной осью симметрии, главные моменты инерции котоporo равны $A, A, C$, может качаться около одной из экваториальчых осей, занимающей горизонтальное положенне. Эта ось установлена в вертикальной раме, вращающейся с постоянной угловой скоростью $\omega$ около своего вертикального днаметра, проходящего через центр масс твердого тела. Составить уравнения движения и доказать, что устойчивым будет вертикальное или горизонтальное положение оси симметрии в зависимости от знака неравенства $C \geq A$.

Доказать, что период малых колєбаний около устойчивого состояния равновесия составляет
\[
\sqrt{\frac{A}{|C-A|}} \cdot \frac{2 \pi}{\omega} .
\]

Доказать, что такие же результагы получатся, если верти:альная рама свободна.

7. Воспользоваться уравнениями Лагранжа для получения уравнений движения твердого тела около неподвижной точки в форме:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial p}-r \frac{\partial T}{\partial q}+q \frac{\partial T}{\partial r}=L \text { и т. д., }
\]

причем предполагается, что координатные оси неизменно связаны с телэм, но не совпадают с главными осями инерции для этой точки.
8. Прямой круговой конус с углом а между осью и образующей положен своей образующей на шероховатую горизонтальную плоскость, которая после этого начинает вращаться около вертикали, проходящей через вершину $O$. Доказать, что при вращении плоскости с угловой скоростью ю ось конуса вращается около вертикали с угловой скоростью $\frac{C \omega}{I}$, а угловая скорость ее движения относительно плоскости составляет $\frac{C-A}{I} \cdot \omega \sin ^{2} \alpha$, где $A, A, C$ – главные моменты инерции для точки $O$, а $I$-момент инерции относительно образующей.
9. Маятник, симметричный относитєльно продольной оси $O A$, при помощи шарнира Гука подвешен к вертикальной оси, вращающейся с постоянной угловой скоростью w. Пусть $\theta$ означает угол наклона к вертикали той оси шарнира $C O C^{\prime}$, к которой непосредственно подвешен маятник, а $\varphi$ пусть означает угол, который плоскость $A O C$ составляет, с вертикальной плоскостью, проходящей через OC. Доказать, что
\[
\begin{aligned}
2 T & =A(\dot{\theta} \sin \varphi-\omega \sin \theta \cos \varphi)^{2}+B(\dot{\theta} \cos \varphi+\omega \sin \theta \sin \varphi)^{2}+B(\dot{\varphi}+\omega \cos \theta)^{2}, \\
V & =-M g h \sin \theta \cos \varphi,
\end{aligned}
\]

где $h$ означает расстояние центра масс от $O$.
10. Полагая в предыдущей задаче $\theta=\frac{1}{2} \pi-\xi, \varphi=\eta$ и считая величины $\xi, \eta$ малыми, доказать, что
\[
\begin{array}{l}
\ddot{B}-(2 B-A) \omega \dot{r}_{1}+\left\{(A-B) \omega^{2}+M q h\right\} \xi=0, \\
\ddot{B} \ddot{\eta}+(2 B-A) \omega \dot{\xi}+\left\{(A-B) \omega^{2}+M g h\right\} \eta=0 .
\end{array}
\]

Решить эту систему уравнений и интерпретировать решение.
11. Тело с неравными главными моментами инерции $A, B, C$ вращается сколо оси $O C$ с очень большой постоянной угловой скоростью $n$. Если эта ось вращается в одной плоскости около точки $O$ с угловой скоростью $v$, то должны быть приложены пары с моментами, составляющими в среднем, $\frac{1}{2}(A+B) \dot{v}$ в этой плоскости, и $C n v$ в перпендикулярном направлении к ней.
12. Цепь из одинаковых стержнеи, соединенных своими концами при помощи шарниров, вытянута в прямую линию. Масса каждого стержня равна $M$, длина равна $2 a$, а радиус инерции отнссительно центра, совпадающего с центром масс, равен $x$. Доказать, что если цепь привести в движение, сообщив при помощи импульсов, перпендикулярных к длине, начальные скорости $\dot{y}_{n}$ $n$-му шарниру, то члены в выражении начальной кинетической энергии, содержащие $\dot{y}_{n}$, будут:
\[
\frac{1}{4} M\left(1+\frac{x^{2}}{a^{2}}\right) \dot{y}_{n}^{2}+\frac{1}{4} M\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right) \dot{y}_{n}\left(\dot{y}_{n+1}+\dot{y}_{n-1}\right),
\]

за исключением случая крайннх шарниров цепи.
Доказать, что если цепь простирается в одном направлении до бесконечности и если другой конец ( $n=0$ ) свободен, то значение $\dot{y}_{n}$, обусловленное действием поперечного импульса $\xi_{0}$ на стот конец, имеет величину
\[
(-1)^{n} \frac{2 \xi_{0} a}{M \times}\left(\frac{a-x}{a+x}\right)^{n} .
\]

13. Доказать, что, если выписать все члены полностью, то уравнения Лагранжа (§ 77 ) будут иметь вид:
\[
\sum_{s} a_{r s} \ddot{q}_{s}+\sum_{r} \sum_{s}\left[\frac{s k}{r}\right] \dot{q}_{s} \dot{q}_{r}=P_{r},
\]
rдe
\[
\left[\frac{s k}{r}\right]=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial a_{r s}}{\partial q_{k}}+\frac{\partial a_{r k}}{\partial q_{s}}-\frac{\partial a_{s k}}{\partial q_{r}}\right) .
\]
14. Нить, привязанная к неподвнжной точке, проходит через кольцо вертикально вниз и имеет на своем нижнем конце материальную точку $\mathrm{m}$. Нижняя часть нити (длины $r$ ) может качаться подобно маятнику. Доказать, что уравнение углового движения нити при движении кольца в вертикальном направлении по любому закону, будет иметь вид:
\[
\ddot{r} \ddot{\theta}+2 \ddot{r} \dot{\theta}=-(g+\ddot{r}) \sin \theta .
\]
15. Материальная точка находится внутри гладкой круглой трубы, вращающейся с угловой скоростью $\omega$ около вергикального диаметра. Доказать, что если она начинает двигаться из сосгояния относительного покоя с углового расстояния $\alpha$ от наинизшего положения, то последующее движение будет происходить по закону:
\[
\omega t=F_{1}(k)-F(k, \varphi),
\]

где
\[
k=\cos \alpha, \sin \varphi=\frac{\cos \theta}{\cos \alpha} \text {. }
\]

Доказать, что если точка совершает полный оборот, то
\[
\sqrt{\omega^{2}+n^{2}} t=F(k, \varphi),
\]

где $t$ означает время, отсчитываемое от момента прохождения через наинизшее положение, $n$-значение $\dot{\theta}$ в этой точке, и
\[
k=\frac{\omega}{\sqrt{\omega^{2}+n^{2}}} .
\]
16. На основании теоремы $\S 85$ доказать, что круглая форма вращающейся цепи ( $\$ 99$, пример) устойчива. (Доказать, что $T_{0}$ является максимумом.)