Мы будем исходить, как и в $\S 77$, из уравнений движения отдельной точки системы, а именно
\[
m \ddot{x}=X, \quad m \ddot{y}=Y, \quad m \ddot{z}=Z .
\]

Обозначим через $x+\delta x, y+\delta y, z+\delta z$ координаты в момент времени $t$ той же точки при любой конфигурации системы (совместимой с ее связями), отличающейся бесконечно мало от координат в действительной конфигурации. Умножив пәедыдущие уравнения соответственно на $\delta x, \delta y, \delta z$ и просуммировав по всем точкам системы, мы получим:
\[
\sum m(\ddot{x} \hat{\partial} x+\ddot{y} \hat{\partial} y+\ddot{z} \hat{z} z)=\sum(X \hat{\partial} x+Y \hat{\partial} y+Z \hat{\delta} z) .
\]

Это уравнение называется \”вариационным уравнением Лагранжа“.
Особое преимущество этой формы уравнения заключается в том, что при вычислении выражения, стоящего в правой части, можно опустить все силы, не производящие работы при бесконечно малом изменении конфигурации. Так в случае консервативной системы при отсутствии внешних сил, мы на основании (12) § 77 имеем:
\[
\sum m(\ddot{x} \delta x+\ddot{y} \delta y+\ddot{z} \delta z)+\delta V=0 .
\]

Формула (2) или (3) наиболее полезна в теории малых колебаний непрерывных систем. Ею, например, широко пользуется Рэлей в своем труде \”Theory of Sound\” (Теория звука). Для иллюстрации этого метода может служить следующий пример.

ПРимЕР. В случае цепи, подвешенной вертикально за один конец (этот случай рассмотрен нами в $\S 91$, пример 3 ) мы имеем:
\[
V=\frac{1}{2} g_{\rho} \int_{0}^{\vdots}(l-s) y^{2} d s,
\]

где $s$ означает расстояние от закрепленного конца, а $y^{\prime}=\frac{\partial y}{\partial s}$. Слезовательно,
\[
\delta V=g_{p} \int_{0}^{l}(l-s) y^{\prime} \partial y^{\prime} d s=g_{?}\left[(l-s) y^{\prime} \partial y\right]_{0}^{l}-g \rho \int_{0}^{l} \frac{\partial}{\partial s}\left\{(l-s) y^{\prime}\right\} \delta y d s .
\]

Проинтегрированный член обрашается в нуль при $s=l$, а также при $s=0$, так как на верхнем конце $\delta y=0$. Следовательно, уравнение (3) принимает вид:
\[
\int_{0}^{l}\left[\ddot{y}-g \frac{\partial}{\partial s}\left\{(l-s) y^{\prime}\right\}\right] \delta y d s=0 .
\]

Так как функция $\delta$ произвольна, вернее подчинена лишь условию, что она должна обращаться в нуль при $s=0$, то другой множитель подинтегрального выражения должен обращаться в нуль для всех значений $s$. Следовательно,
\[
\ddot{y}=g \frac{\partial}{\partial s}\left\{(l-s) y^{\prime}\right\} .
\]

Это уравнение эквивалентно уравнению (15) § 91, в котором коорднната $x$ измерялась от нижнего концв.