При рассмотрении наиболее общего случая движения удобно относить движение к мгновенному положению центра масс $G_{0}$ (фиг. 31).

Если $P$ есть положение какойллибо точки системы с-массою $m$, то ее количество движения $m \mathbf{v}$, выраженное в виде вектора, может быть разложено на два вектора, проходящие через $P$
\[
m \mathbf{v}=m \overline{\mathbf{v}}+m \boldsymbol{v},
\]

где $\mathbf{v}$ есть скорость цехтра масс $G$, а $\boldsymbol{v}$ относительная скорость точки $m$ относительно $G$. Совокупность всех векторов $m \overline{\mathbf{v}}$ образует систему параллельных векторов, пропорциональных соответствующим массам $m$ точек, – систему эквивалентную одному скользящему вектору $\sum(m) \bar{v}$, проходящему через $G$. В виду же того, что $\Sigma(m \boldsymbol{v})=0$, мы видим, что совокупность остальных векторов имеет те же формальные свойства, как и пара сил в статике.

Из этого следует, что при вычислении главного момента количеств движения системы относительно какой-либо оси, проходящей через $\qquad$
1) Векторное доказательство теоремы дано автором в „Динамике“, § 45.

центр масс, мы можем оставить без внимания движение самого центра $G$ и принимать в рассчет только относительное движение по отношению к центру масс $G$.

Аналитически мы получим следующие равенства, относя движение клюбои системе неподвижных осей, при принятых ьыше обозначениях
\[
\left.\begin{array}{rl}
\sum\{m(y \dot{z}-z \dot{y})\} & =\sum\left\{m(\bar{y}+\beta)\left(\frac{d \bar{z}}{d t}+\dot{\gamma}\right)-m(\bar{z}+\gamma)\left(\frac{\overline{d y}}{d t}+\dot{\beta}\right)\right\}= \\
& =\sum(m) \cdot\left(\bar{y} \frac{d \bar{z}}{d t}-\bar{z} \frac{d \bar{y}}{d t}\right)+\sum\{m(\beta \dot{\gamma}-\gamma \dot{\beta})\} .
\end{array}\right\}
\]

Но так как $\sum(m \beta)=0, \sum(m \gamma)=0$, то, следовательно, и $\sum(m \dot{\beta})=0$ и $\boldsymbol{\Sigma}\left(m_{\dot{\gamma}}\right)=0$. Если начало координат совпадает с мгновенным положением центра масс $G$, то мы имеем $\bar{y}=0, \vec{z}=0$ и, следовательно,
\[
\sum\{m(\dot{y} \dot{z}-z \dot{y})\}=\sum\{m(\dot{\beta}-\gamma \dot{\beta})\} .
\]

Такой же результат мы получим и для других составляющих главногс момента количеств движения.

Отсюда следует, что при движении твердого тела, составляющие момента количеств движения тела вдоль осей, проходящих через центр масс, будут иметь выражения, тождественные по форме с теми, которые приведены в § 30 , а именно:
\[
A p-H q-\mathrm{Gr},-\mathrm{Hp}+\mathrm{Bq}-\mathrm{Fr},-\mathrm{Gp}-\mathrm{Fq}+\mathrm{Cr} .
\]

Если за оси координат приняты главные оси инерции для центра $G$, то мы просто получаем:
\[
A p, B q, C r \text {. }
\]

Далее, из сказанного выше или же из равенства (2) следует, что главный момент количеств движения системы относительно какой-либо оси равен сумме: 1) момента количества двнжения огносительно этой оси всей массы, сосредоточенной в центре масс $G$ и движущейся с этой точкой, и 2) главного момента количеств движения тела относительно оси, параляельной данной оси, но проходящей через центр $G$, причем при вычислении этого второго момента рассматривается только относительное движение относительно цечтра $G$. Это – главный момент относительных количеств движения системы.

Таким образом в случае твердого тела, обозначая через $(x, y, z)$ координаты центра масс $G$ отғ.ссительно какой-либо неподвижной системы координат и через $u$, $v$, w скорости центра масс, мы для главного момента количеств движения относительно координатных осей получим следующие выражения:
\[
\left.\begin{array}{l}
M(y w-z v)+A p-H q-G r, \\
M(z u-x w)-H p+B q-F r, \\
M(x v-y u)-G p-F q+C r,
\end{array}\right\}
\]

где $A, B, C, F, G, H$-моменты и произведения инерции относительно осей, проходящих через центр массы параллельно осям координат.