Колда твердое тело имеет три степени свободы, определяемые тремя независимыми винтами с заданными осями и параметрами, то ось и параметр всякого иного винта, характеризующего движение, определяются двумя отношениями между тремя углами вращения. Число таких возможных винтов будет бесконечностью второго порядка, и их оси образуют так называемую (в геометрии прямых) „конгруэнцию\”. Чтобы определить положение осей и распределение значений параметра винтов, мы, как и в предыдущем параграфе, сделаем особую предпосылку и затем покажем, как ею можно будет воспользоваться и для исследования всех возможных случаев.

Предположим, что оси трех основных винтов пересекаются под прямыми углами. Мы примем их в качестве осей координат, а соответствующие им параметры винтоз обозначим через $a, b, c$. Пусть $p, q, r$ – углы поворота около этих осей при каком-либо малом перемещении. Имеем:
\[
l=a p, \quad m=b q, \quad n=c r .
\]

Параметр результирующего винта будет равен:
\[
\tilde{\omega}=\frac{a p^{2}+b q^{2}+c r^{2}}{p^{2}+q^{2}+r^{2}} .
\]

Уравнениями его оси [§9, (9)] будут следующие:
\[
\frac{a p+q z-r y}{p}=\frac{b q+r x-p z}{q}=\frac{c r+p y-q x}{r},
\]

причем каждое из этих отношений равно $\tilde{\text {. }}$.
Следовательно, задавая параметр винта, мы определяем геометрическое место осей всех винтов; имеющих тот же параметр, исключея отношения $p: q: r$ из следующих уравнении:
\[
\left.\begin{array}{r}
(a-\tilde{\omega}) p+z q-y r=0, \\
-z p+(b-\tilde{\omega}) q+x r=0 \\
y p-x q+(c-\tilde{\omega}) r=0 .
\end{array}\right\}
\]

В результате получим уравнение:
\[
(a-\tilde{\omega}) x^{2}+(b-\tilde{\omega}) y^{2}+(c-\tilde{\omega}) z^{2}+(a-\tilde{\omega})(b-\tilde{\omega})(c-\tilde{\omega})=0 .
\]

Это геометрическое место, если оно действительное, представляет собою однополый гиперболоид. Поверхность будет мнимой, если п превосходит наибольшее или меньше наименьшего из трех количеств $a, b$ и $c$.

В частности геометрическое место осей винтов с параметром, равным нулю, есть поверхность. второго порядка
\[
a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+a b c=0,
\]

которая, однако, является мнимой, если $a, b$ и $c$ все одного знака. Делая $\tilde{\omega}$ в (5) переменным, мы получим семенство гиперболоидог, на которых лежат оси всевозможных винтов системы.

Если $\rho$ есть радиус-вектор этой поверхности, проведенный в направлении оси одного из этих винтов, то из сравнения уравнений (2) и (6) следует, что соответствующий параметр винта равен
\[
\tilde{\omega}=-\frac{a b c}{p^{2}} .
\]

Поверхность (6) называется пповерхностью- индикатрисой параметра винта“.

Нам еще остается показать, что система винтов, в основе которой лежат три пересекающиеся винта со взаимно перпендикулярными осями, изображает собою наиболее общий случай трех степеней свободы.

Во-первых, если среди винтов, характеризующих возможные перемещения, имеются три винта с нулезым параметром, т. е. три оси простого вращения, то эти последние определяют собою некоторый гиперболоид, и образующие его второй системы будут нулевыми прямыми. Всякая другая ось возможного простого вращения лежит на этом гиперболоиде, так как она встречает все нулевые прямые. Уравнение этой поверхности в нормальных координатах будет иметь вид:
\[
\frac{x^{2}}{\alpha^{2}}+\frac{y^{2}}{\beta^{2}}-\frac{z^{2}}{\gamma^{2}}=1 \text {. }
\]

Чтобы отождествить его с уравнением (6), достаточно будет положить
\[
b c=-\alpha^{2}, \quad c a=-\beta^{2}, \quad a b=\gamma^{2} .
\]

Принимая $\alpha, \beta$ и $\gamma$ положительными, мы находим:
\[
a=-\frac{\beta \gamma}{\alpha}, \quad b=-\frac{\gamma \alpha}{\beta}, \quad c=\frac{\alpha \beta}{\gamma} .
\]

Настоящий случай имеет место всякий раз, когда тело касается в трех точках неподвижных поверхностей, но, как мы выше отметили, этот случай еще не является общим.

Мы видели, однако, что расположение осей различных винтов, которые равносильны произвольным двум основкым винтам, остается без изменения, если параметры этих двух винтов будут увеличены на одно и то же количество. Единственным следствием этого будет то, что и параметры других винтов увеличатся на то же самое количество. Это заключение остается в силе, если мы присоединим еще и третий основной винт и если его параметр будет тоже увеличен на то же количество.

Рассмотрим теперь самый общий случай трех степеней свободы и пусть $\tilde{\omega}$ – параметр некоторых винтов системы. Если мы прибавим к параметрам всех винтов системы, то расположение винтовых осей не изменится. Оси же всех тех винтов, параметр которых был равен $\tilde{\omega}$, будут лежать на гиперболоиде, уравнение которого, отнесенное к главным диаметрам, будет вида:
\[
a^{\prime} x^{2}+b^{\prime} y^{2}+c^{\prime} z^{2}+a^{\prime} b^{\prime} c^{\prime}=0 .
\]

Система видоизмененных таким образом винтов соответствует произвольным винтовым движениям около трех винтов с осями, пересекающимися под прямым углом, и с параметрами, соответственно равңыми $a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}$. Первоначальная система может быть тоже построена на трех винтах с пересекающимися взаимно перпендикулярными осями, параметры которых будут соответственно равны:
\[
a=a^{\prime}+\tilde{\omega}, \quad b=b^{\prime}+\tilde{\omega}, \quad c=c^{\prime}+\tilde{\omega} .
\]

Введя $a, b, c$ в уравнение (11), мы получим уравнение вида (5). Геометрическое место осей винтов с нулевым шагом есть поверхность (6) второго порядка, которая, однако, может быть и мнимой.

В последнем случае распределение значений параметра винтов может быть получено из рассмотрения сопряженного гиперболоида, уравнение которого получается переменою знака у последнего члена ${ }^{1}$ ).