1. Доказать, что траектория точки, движущейся под действием силы тяжести на гладкой цилиндрической поверхности (с сеченнем любой формы) с вертикальными образующими, такова, что если развернуть поверхность на плоскости, то получится парабола. [Эйлер].
2. Грузу математического маятника сообщена горизонтальная скорость $ข$ под прямым углом к поддерживающей его нити, составляющей угол $\alpha$ с вертикалью. Показать, что груз начнет подниматься или опускаться в зависимости от знака неравенства
\[
v^{2} \geq g l \frac{\sin ^{2} \alpha}{\cos \alpha} .
\]
3. Материальная точка вынуждена двигаться на гладкой поверхности, имеющей форму кольца (тор),
\[
x=\rho \cos \psi, \quad y=\rho \sin \psi, z=b \sin \theta,
\]
где
\[
p=a+b \cos \theta \text {. }
\]
Доказать, что составляющие ускорения точки в касательной плоскости, вдоль касательной к кривой поперечного сечения и в нормальном к ней направлении будут соответственно равны
\[
b \ddot{\theta}+\rho \sin \dot{\theta} \psi^{2} \text { и } \frac{1}{\rho} \frac{d}{d t}\left(\rho^{2} \dot{\psi}\right),
\]
а ускорение вдоль внутренней нормали к поверхности будет равно
\[
b \dot{\theta}^{2}+f \cos \theta \psi^{2} \text {. }
\]
4. Доказать, что если в предыдущеи примере нет других сил кроме реакции самой поверхности, то движение по внешней экваториальной окружности будет устойчивым, и что при незначительном возмущении двкжения траектория будет пересекать эту окружность через интервалы времени, равные
\[
\pi \sqrt{b(a+b)} .
\]
Доказать также, что движение по внутренней экваториальной окружности неустойчиво и что при незначительном возмущении траектория точки пересечет внешню эквагориальную окружность под углом, равным
\[
\arccos \frac{a-b}{a+b} \text {. }
\]
5. Однородная нить с линейной плотностью $\mu$ пропускается с постоянной скоростью $\boldsymbol{v}$ через совершенно гладкую трубку, ось которой представляет некоторую кривую в пространстве. Показать, что если натяжение нити равно $\mu v^{2}$, то нить не оказывает давлення на трубку.
Вывести из этого, что волновое движение любой формы может распространяться вдоль нити (которая может иметь прямолинейную форму в состоянии покоя) со скоростью $\sqrt{\frac{T}{\mu}}$, где $T$ есть сила натяжения нити.
6. Круглый диск, центр которого неподвижен, вращают при помощи стержня, поддерживающего диск в точке, находящейся на расстоянии $a$ от центря, таким образом, что эта точка олисывает горизонтальную окружность. Доказать, что когда движение сделается установившимся, то наклон $\theta$ диска к горизонтальной плоскости будет определяться равенством
\[
\sin \theta=\frac{M g a}{A \omega^{2}},
\]
где $\omega$ есть угловая скорость вращения вокруг вертикали, $A$-момент инерции относительно диаметра.
Как изменится задача, если центр диска будет описывать горизонтальную окружность заданного радиуса?
7. Горизонтальная плоскость вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг определенной вертикальной прямой. По плоскости катится шар. Доказать, что центр шара описывает окружность с угловой скоростью, равной
\[
\frac{k^{2} \omega}{a^{2}-k^{2}},
\]
где $a$-радиус шара, а $k$ – радиус его инерции относительно диаметра.
8. Шар катится по плоскости, наклоненной к горизонтальной плоскости под углом $\alpha$. Эта плоскость сама вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг прямой, нормальной к плоскости. Показать, что центр шара описывает трохоиду со средней скоростью
\[
g a^{2} \frac{\sin \alpha}{k^{2} \omega}
\]
в горизонтальном направлении, где $a$-радиус шара, $k$-радиус его инерцин относительно диаметра.
9. Твердое тело свободно вращается около неподвижной точки $O$. Пусть $a, b, c$-координаты ero центра масс относительно главных осей инерции в точке $O$, а $(l, m, n)$ – направлящие косинусы вертикали относительно тех же осей. Доказать, что вращение тела вокруг вертикали может быть равномерным при условии
\[
(B-C) \frac{a}{l}+(C-A) \frac{b}{m}+(A-B) \frac{c}{n}=0 .
\]
Найти соответствующую угловую скорость.
[Штауде (Staude)].
10. Твердое тело с массой $M$ в одной своей точке поддерживается в соприкосновении с гладкой горизонтальной плоскостью, а затем ему предоставляется возможность падать на эту плоскость. Доказать, что начальное давление его $R$ на плоскость определяется равенством
\[
\frac{M g}{R}=1+\frac{M(n y-m z)^{2}}{A}+\frac{M(l z-n x)^{2}}{B}+\frac{M(m x-l y)^{2}}{C},
\]
где $(x, y, z)$ – координаты точки касания относительно ценгральных главных осей инерции, а $l, m, n$ – направляющие косинусы силы тяжести относительно тех же осей.
11. При каких условиях движение свободного твердого тела может быть остановлено только одной импульсивной силой?
(Скорость центра масс $G$ должна составлять прямой угол -с өсью момента количеств движения относительно $G$.)
12. Если два твердых тела первоначально независимо вращаются вокруг одной и той же неподвижной оси с угловыми скоростями $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, а загем внезапно будут жестко соединены друг с другом, то погеря кинетической энергии, которая произойдет при этом, будет равна:
\[
\frac{1}{2} \frac{I_{1} I_{2}}{I_{1}+I_{2}}\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right)^{2},
\]
где $I_{1}$ и $I_{2}$ означают соответственнс моменты инерции относительно оси врацения обоих тел.
13. Цепь с одинаковыми звеньями вытянута вдоль прямой. Затем она приведена в движение импульсивныма силами, направленными вдоль одной и той же плоскости, перпендикулярно к длине цепи. Если $u_{n}$ означает начальную скорость $n$-го узла цепи, то доказать, цто для трех последовательных узлов в части цепи, не находящейся под действием импульсов, будет соблюдаться равенство:
\[
u_{n+1}+4 \dot{u}_{n}+u_{n-1}=0 \text {. }
\]
14. Прямоугольная однородная пластинка, стороны которой имеют длину $2 a$ и $2 b$, получает удар по вершине угла в направлении, нормальном к пластинке. Доказать, что она начнет враща́ться вокруг прямой, уравнение которой относительно осей, проходящих через ее центр и параллельных сторонам, будет следущее:
\[
\frac{3 x}{a}+\frac{3 y^{\prime}}{b}+1=0,
\]
где $(a, b)$ – точка приложения удара.
15. Однородная треугольная пластинка $A B C$ может свободно вращаться около вершины угла $C$, как около нєподвижной точки. В точке $B$ пластинке сообщен удар в. направлении нормальном к пластинке. Доказать, что начальной осью вращения будет та трисектриса стороны $A B$, которая дальше отстоит от вершины $B$.
16. Тело в форме прямоугольника с ребрами $2 a, 2 b, 2 c$ выведено из покоя ударом вдоль прямой $y=b, z=c$ (оси координат параллельны ребрам и проходят через центр параллелепипеда).
Доказать, что тело начнет вращаться вокруг оси, уравнение которой следующее:
\[
x=0, \frac{3 b y}{a^{2}+b^{2}}+\frac{3 c z}{a^{2}+c^{2}}+1=0 .
\]
17. Два колеса с радиусами $a_{1}$ и $a_{2}$ и моментами инерции $l_{1}$ и $I_{2}$ вращаются вокруг параллельных осей независимо друг от друга с угловыми скоростями $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$.
Затем мгновенно они приведены в сцепление друг с другом. Найти последующую угловую скорость и показать, что потеря кинетической энергии будет равна
\[
\frac{I_{1} I_{2}\left(\omega_{1} a_{1}+\omega_{2} a_{2}\right)^{2}}{2\left(I_{1} a_{2}^{2}+I_{2} a_{1}^{2}\right)} .
\]
18. Твердый куб свободно вращается вокруг диагонали. Затем одно из его ребер, не пересекающееся с этой диагональю, внезапно делается неподвижным. Доказать, что его кинетическая энергия уменьшится в двенадцать раз.
19. Принимая центральные главные оси инерции в качестве осей координат, показать, что если твердое тело получает в точке ( $x, y, z)$ импульс, равный единице по величине, в направлении $(l, m, n)$, то в точке $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right.$ ) в направлении ( $l^{\prime}, m^{\prime}, n^{\prime}$ ) скорость, получаюшаяся от действия импульса, равна
\[
\begin{array}{l}
\frac{l l^{\prime}+m m^{\prime}+n n^{\prime}}{M}+\frac{1}{A B C}\left\{\left(A l l^{\prime}+B m m^{\prime}+C n n^{\prime}\right)\left(A x x^{\prime}+B y y^{\prime}+C z z^{\prime}\right)-\right. \\
\left.-\left(A l^{\prime} x+B m^{\prime} y+C n^{\prime} z\right)\left(A l x^{\prime}+B m y^{\prime}+C n z^{\prime}\right)\right\} .
\end{array}
\]
20. Три материальные точки, взаимно притягивающиеся по произвольному закону, из состояния покоя переходят в движение. Показать, что все последуюшее время касательные $\mathbf{к}$ их траекториям будут пересекаться в одной точке.
21. Твердое тело погружено в несжимаемую жидкость, ограниченную снаружи твердыми сгенками. Тело приводится в движение из состояния покоя и ему сообщается скорость $V$. Доказать, что количество движения, приобретаемое при этом жидкостью, равно- $M^{\prime} V$, где $M^{\prime}$ есть масса вытесняемога телом объема жидкости.
