Возвращаясь к общему случаю неравных моментов инерции, относящихся к центру $O$, мы предположим, что $A>B>C$. Неизменяемая прямая описывает в теле некоторый конус. Чтобы определить его уравнение относительно главных осей инерции в точке $O$, заметим, что
\[
\begin{aligned}
A p^{2}+B q^{2}+C r^{2} & =2 T, \\
A^{2} p^{2}+B^{2} q^{2}+C^{2} r^{2} & =H^{2} .
\end{aligned}
\]
1) Это явление известно под названием „нутации Эйлера“. Максвелл (1857) предложил определять величину этой нутации по ее влиянию на измерение широт.
2) S. C. Chandler (1891).

Следовательно:
\[
A^{2} p^{2}+B^{2} q^{2}+C^{2} r^{2}=\frac{H^{2}}{2 T}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right) .
\]

В точках этого конуса, называемого „инвариантным “, мы имеем:
\[
x: y: z=A p: B q: C r,
\]

и таким образом искомым уравненнем конуса будет:
\[
\left(1-\frac{H^{2}}{2 A T}\right) x^{2}+\left(1-\frac{H^{2}}{2 B T}\right) y^{2}+\left(1-\frac{H^{2}}{2 C T}\right) z^{2}=0 .
\]

Из равенств (1) и (2) мы выводим:
\[
\left.\begin{array}{l}
2 A T-H^{2}=B(A-B) q^{2}+C(A-C) r^{2}, \\
2 B T-H^{2}=C(B-C) r^{2}+A(B-A) p^{2} \\
2 C T-H^{2}=A(C-A) p^{2}+B(C-B) q^{2}
\end{array}\right\}
\]

Таким образом из трех коэфициентов в уравнении (5) первый всегда положителен, третий всегда отрицательный, тогда как второй может иметь любой знак.
Если $H^{2}=2 B T$, то этот коэфициент равен нулю, конус вырождается в две плоскости, пересекающиеся вдоль средней оси эллипсоида (ось момента $B$ ).
О различных возможных формах инвариантного конуса можно судить по его пересечению со сферой единичного радиуса, описанной около центра вращения $O$. При рассматривании из точки оси $x$, находящейся на далеком расстоянии, все эти кривые имеют вид системы подобных эллипсов. При рассматривании из удаленной точки оси $O z$ они представляются в таком же виде. Если Фиг. 42. же смотреть на них из удаленной точки средней оси $O y$, то они представятся в виде двух семейств сопряженных гипербол с асимптотами, изображающими те две плоскости, на которые конус распадается при вырождении. Семейство кривых, видимое при рассматривании из удаленной точки оси $O y$, представлено на фиг. 42 для случая, когда
\[
A: B: C=45: 40: 32 .
\]

Кривые соответствуют равноотстоящим значениям отношения
\[
\frac{2 B T}{H^{2}} \text {. }
\]

Эта фигура позволяет судить о влиянии небольшого возмущения на установившееся вращение вокруг- одной из главных осей. Если тело вращается вокруг оси $O x$, то в возмущенном движении инвариантный конус будет всегда заключать эту ось внутри себя, и, следовательно, ось вращения не отклонится значительно от неизменяемой прямой, неподвижной в пространстве. Вращенхе вокруг оси $O x$ считается поэтому устойчивым.

То же заключение можно сделать и в случае вращения вокруг оси Oz. Но если сообщено небольшое возмущение при вращении вокруг средней оси, то ось вращения будет все более и более отклоняться от неизменяемой прямой. Вращение вокруг средней оси неустойчиво.
Для точки конуса полодии мы имеем:
\[
x: y: z=p: q: r .
\]

Подставляя в равенство (3); получим:
\[
A^{2}\left(1-\frac{H^{2}}{2 A T}\right) x^{2}+B^{2}\left(1-\frac{H^{2}}{2 B T}\right) y^{2}+C^{2}\left(1-\frac{H^{2}}{2 C T}\right) z^{2}=0 .
\]

Коэфициенты того же знака, как и в уравнении инвариантного конуса; точно так же и форма разных видов конусов будет аналогичной.

Существует еще одна коническая поверхность, представляющая некоторый интерес, а именно та, которая описывается в теле перпендикуляром $O K$ к неизменяемой прямой $O Z$, проведенным в плоскости, проходящей чєрез $O Z$ и мгновенную ось вращения.
Так как по $\S 46$ (3)
\[
I \omega=\frac{H \tilde{\omega}}{\rho},
\]

то проекция угловой скорости тела на неизменяемую прямую равна
\[
\omega \frac{\tilde{\omega}}{\rho}=\frac{j \omega^{2}}{H}=\frac{2 T}{H}
\]

и остается таким образом постоянной. Скорости точек тела, лежащих вдоль $O K$, направлены перпендикулярно к $O Z$, и точки эти вращаются с указанной постоянной угловой скоростью. Эту угловую скорость, разумеется, следует отличать от той переменной скорости, с которою геометрическая плоскость $Z O I$ вращается вокруг оси $O Z$. Так как неизменяемая прямая $O Z$ всегда перпендикулярна ко всем последовательным положениям $O K$ в теле, то геометрическое место прямых $O K$ в теле есть конус, взаимный инвариантному конусу. Поэтому его уравнение получится, если примем для его коэфициентов значения обратные коэфициентам уравнения (5), т. е. это уравнение будет иметь вид:
\[
\frac{A}{2 A T-H^{2}} x^{2}+\frac{B}{2 B T-H^{2}} y^{2}+\frac{C}{2 C T-H^{2}} z^{2}=0 .
\]

Так как прямая касания конуса и неизменяемой плоскости проходит через центр вращения $O$, и, кроме того, эта прямая, рассматриваемая, как прямая тела, вращается сама вокруг $O$, то Пуансо и назвал этот конус \”конусом качения и скольжения “.

Если мы представим себе диск, лишенный массы, который может свободно вращаться вокруг $O$ в неизменяемой плоскости, оставаясь все время в соприкосновении с конусом, но без скольжения, то вращение диска может служить для измерения времени.