Всякий раз, когда бесконечно малые перемещения твердого тела подчинены какому-либо одному геометрическому условию, аналитическое выражение этого условия приводит к однородному линейному соотношению между количествами $l, m, n, p, q, r$, т. е. к равенству следующего вида:
\[
A l+B m+C n+F p+G q+H r=0,
\]

с постоянными коэфициентами. Например, если точка $x_{1}, y_{1}, z_{1}$ должџа лежать на данной поверхности, то перемещения этой точки подчинены условию
\[
\lambda \delta x+\mu \delta y+
u \delta z=0,
\]

где $\lambda, \mu,
u$ – направляющие косинусы нормали к поверхности в точке $\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$, откуда получается:
\[
\lambda\left(l+q z_{1}-r y_{1}\right)+\mu\left(m+r x_{1}-p z_{1}\right)+
u\left(n+p y_{1}-q x_{1}\right)=0,
\]
т. е. равенство указанного вида.

Если тело подчинено шести условиям такого вида, то в общем случае единственным решением будет $l=m=n=p=q=r=0$. Тело тогда неподвижно, т. е. не может перемещаться без нарушения одного из наложенных условий. Так, например, как было уже указано, жесткое сооружение, установленняе на шести шарнирных стержнях, в общем случае неподвижно.

Может, однако, случиться, что благодаря особому расположению стержней тело способно иметь бесконечно малое перемещение: напомним аналогичную, но значительно более простую задачу из кинематики на пдоскости (\”Статика\”, § 15).
Обозначим линейные координаты шести стержней через
\[
\left(l_{1}, m_{1}, n_{1}, p_{1}, q_{1}, r_{1}\right), \ldots,\left(l_{6}, m_{6}, n_{6}, p_{6}, q_{6}, r_{6}\right),
\]

предполагая при этом, что шесть количеств каждой группы удовлетворяют равенству вида (12) $\S 9$. По предположению указанные прямые являются нулевыми прямыми относительно некоторого перемещения $\left(l^{\prime}, m^{\prime}, n^{\prime}, p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}\right.$ ) и должны удовлетворять следовательно уравнению
\[
\imath p^{\prime}+m q^{\prime}+n r^{\prime}+p l^{\prime}+q m^{\prime}+r n^{\prime}=0 .
\]

Другими словами все они принадлежат к одному и тому же линейному комплексу 1), определяемому уравнением (4). Аналитически условие особого расположения стержней выражается здесь уравнением:

См. § 19, (20).
Если мы имеем пять независимых соотношений вида (1), то они дадут единственное значение пяти отношениям:
\[
l: m: n: p: q: r .
\]

Тело будет иметь одну степень свободы, а именно: оно может совершать в определенных пределах определяемое таким образом винтовое движение. Перемещение любой точки тела может происходить только в одном опредененном направлении.

Если мы имеем четыре независимых связи, то отношения: $l: m$ : $n: p: q: r$ остаются неопределенными. Однако, если $l^{\prime}, m^{\prime}, n^{\prime}, p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$ и $l^{\prime \prime}, m^{\prime \prime}, n^{\prime \prime}, p^{\prime \prime}, q^{\prime \prime}, r^{\prime \prime}$ – два независимых решения четырех уравнении, то всякое новое решение может быть выражено в форме:
\[
\left.\begin{array}{c}
l=\lambda l^{\prime}+\mu l^{\prime \prime}, \quad m=\lambda m^{\prime}+\mu m^{\prime \prime}, \quad n=\lambda n^{\prime}+\mu n^{\prime \prime}, \\
p=\lambda p^{\prime}+\mu p^{\prime \prime}, \quad q=\lambda q^{\prime}+\mu q^{\prime \prime}, \quad r=\lambda r^{\prime}+\mu r^{\prime \prime},
\end{array}\right\}
\]

так как заданные условия, очевидно, удовлетворяются шестью количествами
\[
\begin{array}{ccc}
l-\lambda l^{\prime}-\mu l^{\prime \prime}, & m-\lambda m^{\prime}-\mu m^{\prime \prime}, & n-\lambda n^{\prime}-\mu n^{\prime \prime}, \\
p-\lambda p^{\prime}-\mu p^{\prime \prime}, & q-\lambda q^{\prime}-\mu q^{\prime \prime}, & r-\lambda r^{\prime}-\mu r^{\prime \prime} .
\end{array}
\]

Мы можем определить $\lambda$ и $\mu$ так, чтобы два из этих количеств были равны нулю. В таком случае уравнения удовлетворяются только такими значениями остающихся четырех количеств, которые также равны нулю. Тело имеет теперь две степени свободы, так как оно может совершать в произгольных пределах уже два винтовых перемещения:

и
\[
\begin{array}{c}
\left(l^{\prime}, m^{\prime}, n^{\prime}, p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}\right) \\
\left(l^{\prime \prime}, m^{\prime \prime}, n^{\prime \prime}, p^{\prime \prime}, q^{\prime \prime}, r^{\prime \prime}\right) .
\end{array}
\]

Эти два винтовые перемещения сами могут быть выбраны оесконечным числом способов. Направления двух возможных винтовых движений любой точки тела не зависят одно от другого. Следовательно, каждая точка имеет возможные перемещения в двух измерениях. Отсюда
1) Шесть линий, таким образом связанных, Сильвестр называет находящимися в инволюции. Со статической точки зрения теория была развита Кэли, Спэтисвудом (Spattiswoode) и Сильвестром.

следует, что для твердого тела, четыре точки которого вынуждены двигаться на заданных поверхностях, возможны все типы свободы движения второго порядка.

Наложение трех связей предоставляет телу возможность совершать три независимых винтовых движения. Каждая точка тела, вообще говоря, может двигаться в трех измерениях (разумеется не независимо от других точек тела). Случай тела, имеющего касание в трех точках с неподвижными поверхпостями, хотя и ятвляется очень важным примером, но он не является достаточно общим, чтобы быть типичным.

Остающиеся случаи тела, подчиненного только дв ум условиям или одном у и имеющего, следовательно, четыре или пять степеней свободы, имеют меньший интерес. О них мы скажем ниже в $\S 22^{1}$ ).