В качестве другого примера, с некоторыми интересными особенностями, мы рассмотрим случай шара, катящегося по другой неподвижной сферической поверхности при отсутствии иных сил кроме реакции в точке касания.

Пусть $a$-радиус подвижного шара, $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}$ – координаты его центра $G$ относительно осей, проходящих через центр $O$ неподвижного шара. Пусть далее $c$ радиус сферической поверхности, опнсываемой центром G. Мы рассматриваем для примера случай внешнего касания сферических поверхностей; случай же, когда один шар катится внутри другого, получается переменой знака у $a$.
Если $X, Y, Z$ – составляющие силы реакции, то имеем:
\[
\begin{array}{c}
M \ddot{x}=X, \quad M \ddot{y}=Y, \quad M \ddot{z}=Z, \\
I \dot{p}=-\frac{a}{c}(y Z-z Y), \quad I \dot{q}=-\frac{a}{c}(z X-x Z), \\
I \dot{r}=-\frac{a}{c}(x Y-y X),
\end{array}
\]

так как координаты точки касания относительно осей, проходящих через центр $G$ подвижного шара равны $-\frac{a x}{c}, \quad-\frac{a y}{c}$ и $-\frac{a z}{c}$.
Далее имеем, кинематические соотношения:
\[
\dot{x}=\frac{a}{c}(q r-r y), \quad \dot{y}=\frac{a}{c}(r x-p z), \quad \dot{z}=\frac{a}{c}(p y-q x) .
\]

В результате мы имеем девять уравнений для определения девяти количеств: $x, y, z, \quad p, q, r, \quad X, Y, Z$
Исключая $X, Y, Z$ из уравнения (1) и (2), получим:
\[
\dot{p}=-\frac{M a}{c}(\ddot{z}-z \ddot{y}) \text { и т. д., }
\]

о’гкуда
\[
\left.\begin{array}{c}
p=-\frac{M a}{I c}(y \dot{z}-z \dot{y})+\alpha, \quad q=-\frac{M a}{I c}(z \dot{x}-x \dot{z})+\beta, \\
r=-\frac{M a}{I c}(x \dot{y}-y \dot{x})+\gamma,
\end{array}\right\}
\]

где $\alpha, \beta$ и $\gamma$-произвольные постоянные.
Подставляя эти значения для $p, q$ и $r$ в уравнение (3), после некоторых преобразований найдем:
\[
\left.\begin{array}{c}
\left(1+\frac{M a^{2}}{I}\right) \dot{x}=\frac{a}{c}(\beta z-\gamma y)_{1} \quad\left(1+\frac{M a^{2}}{I}\right) \dot{y}=\frac{a}{c}(\gamma x-\alpha z), \\
\left(1+\frac{M a^{2}}{I}\right) \dot{z}=\frac{a}{c}(\alpha y-\beta x) .
\end{array}\right\}
\]

Следовательно:
\[
\alpha \dot{x}+\beta \dot{y}+\gamma \dot{z}=0,
\]

н таким образом
\[
\alpha x+\beta y+\gamma z=\text { const. }
\]

Траектория центра $G$ представляет, таким образом, окружность пересечения сферической поверхности радиусй с с плоскостью (8). Направляя ось $O z$ чормально к пноскости траектории, будем иметь: $\alpha=0$ и $\beta=0$, и далее
\[
\left(1+\frac{a^{2}}{k^{2}}\right) \dot{x}=-\frac{\gamma a}{c} y, \quad\left(1+\frac{a^{2}}{k^{2}}\right) \dot{y}=+\frac{\gamma a}{c} x .
\]

Эти уравнения решаются обычными методами, применяемыми для решения совнестных диференциальных линейных уравнений.

Однако удобнее воспользоваться специальной формой и объединить их в одно уравнение
\[
\left(1+\frac{a^{2}}{k^{2}}\right) \dot{\zeta}=i \gamma \frac{a}{c} \zeta
\]

где
\[
i=\sqrt{-1}
\]

и
\[
\zeta=x+i y \text {. }
\]

Решением его является
\[
\zeta=H e^{i(\lambda t+\varepsilon)},
\]

где $H e^{i s}$ есть произвольная комплексная постоянная, а
\[
\lambda=\frac{\gamma k^{2} a}{\left(k^{2}+a^{2}\right) c} .
\]

Отделяя вещественную и мнимую части, мы нолучим:
\[
x=H \cos (\lambda t+\varepsilon), \quad y=H \sin (\lambda t+\varepsilon) .
\]

Ценг $G$ описывает таким образом круговую траекторию с постоянной угловой скоростью $\lambda$, которая зависит от начальных данных.