В § 105 было доказано, что интеграл
$$S={\int }^{t^{\prime }}Ldt={\int }_t^{t^{\prime }}(T-V)dt,$$

взятый в пределах между фиксированными конфигурациями денствительной траектории и подчиненныи условию, чтобы время перехода имело заданную величину, имеет стационарное (экстремальное) значение. Мы рассмотрим теперь влияние незначительных изменений крайних конфигураций и заданного времени перехода.
Очевидно, мы имем:
$$\mathrm{\Delta }S=(T^{\prime }-V^{\prime })\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }-(T-V)\mathrm{\Delta }t+{\int }_t^{t^{\prime }}\delta (T-V)dt.$$

На осюо ании изложенного в § 105 мы имеем также:
$$\begin{array}{rl}{\int }_t^{t^{\prime }}\delta (T-V)dt& =\sum m({\dot{x}}^{\prime }\delta x^{\prime }+{\dot{y}}^{\prime }\delta y^{\prime }+{\dot{z}}^{\prime }\delta z^{\prime })\cdots \\ & -\sum m(\dot{x}\delta x+\dot{y}\delta y+\dot{z}\delta z).\end{array}$$

Следовательно, производя подстановку выражений $\delta x,\delta x^{\prime },\dots$, мы, как и в $\mathrm{\S }106$, найдем:
$$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }S=-H\mathrm{\Delta }\tau +\sum m({\dot{x}}^{\prime }\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }+{\dot{y}}^{\prime }\mathrm{\Delta }{y}^{\prime }+{\dot{z}}^{\prime }\mathrm{\Delta }{z}^{\prime })-\\ -\sum m(\dot{x}\mathrm{\Delta }{x}_1+\dot{y}\mathrm{\Delta }y+\dot{z}\mathrm{\Delta }z),\end{array}$$

где
$$H=T+V,\tau =t^{\prime }-t,$$
т. е. $H$ представляет полную энергию, а $\tau$ время перехода.
В обобщенных координатах формула (3) принимает вид:
$$\mathrm{\Delta }S=-H\mathrm{\Delta }\tau +\sum _r{p}_r{}^{\prime }\mathrm{\Delta }{q}_r{}^{\prime }-\sum _r{p}_r\mathrm{\Delta }{q}_r.$$

Следовательно, рассматривая $S$ как функцию от начальных и конечных координат, а также и от времени перехода, будем иметь:
$$p_r^{\prime }=\frac{\partial S}{\partial q_r{}^{\prime }},p_r=-\frac{\partial S}{\partial q_r}$$

и
$$H=-\frac{\partial S}{\partial \tau }\text{. }$$

Следует заметить, что в формуле (5) и в сходной с ней формуле (3) координаты, употребленные для обозначения соответственно начальной и конечной конфигураций, не обязательно должны быть выбраны однотипными. Это видно из того, что выражение
$$\sum _r{p}_r\delta q_r$$

инвариантно [(7) § 102].

Если функция $S$, аналогичная функции $A$ предыдущего параграфа (§106), известна, то мы можем указать полностью результаты, вытекающие из данных начальных условий. Если даны начальные координаты $q_r$ и импульсы $p_r$, то $n$ равенств:
$$\frac{\partial S}{\partial q_{\tau }}=-p_r,$$

определят значения $q_r{}^{\prime }$ по истечении времени $\tau$. Тогда $n$ равенств:
$$\frac{\partial S}{\partial q_r{}^{\prime }}=p_r{}^{\prime }$$

определят соответствующие импульсы.
Относительно диференциального уравнения, которому удовлетворяет $\mathcal{S}$, см. § 110 .