В § 105 было доказано, что интеграл
\[
S=\int^{t^{\prime}} L d t=\int_{t}^{t^{\prime}}(T-V) d t,
\]

взятый в пределах между фиксированными конфигурациями денствительной траектории и подчиненныи условию, чтобы время перехода имело заданную величину, имеет стационарное (экстремальное) значение. Мы рассмотрим теперь влияние незначительных изменений крайних конфигураций и заданного времени перехода.
Очевидно, мы имем:
\[
\Delta S=\left(T^{\prime}-V^{\prime}\right) \Delta t^{\prime}-(T-V) \Delta t+\int_{t}^{t^{\prime}} \delta(T-V) d t .
\]

На осюо ании изложенного в § 105 мы имеем также:
\[
\begin{aligned}
\int_{t}^{t^{\prime}} \delta(T-V) d t & =\sum m\left(\dot{x}^{\prime} \delta x^{\prime}+\dot{y}^{\prime} \delta y^{\prime}+\dot{z}^{\prime} \delta z^{\prime}\right) \cdots \\
& -\sum m(\dot{x} \delta x+\dot{y} \delta y+\dot{z} \delta z) .
\end{aligned}
\]

Следовательно, производя подстановку выражений $\delta x, \delta x^{\prime}, \ldots$, мы, как и в $\S 106$, найдем:
\[
\begin{array}{c}
\Delta S=-H \Delta \tau+\sum m\left(\dot{x}^{\prime} \Delta x^{\prime}+\dot{y}^{\prime} \Delta y^{\prime}+\dot{z}^{\prime} \Delta z^{\prime}\right)- \\
-\sum m\left(\dot{x} \Delta x_{1}+\dot{y} \Delta y+\dot{z} \Delta z\right),
\end{array}
\]

где
\[
H=T+V, \quad \tau=t^{\prime}-t,
\]
т. е. $H$ представляет полную энергию, а $\tau$ время перехода.
В обобщенных координатах формула (3) принимает вид:
\[
\Delta S=-H \Delta \tau+\sum_{r} p_{r}{ }^{\prime} \Delta q_{r}{ }^{\prime}-\sum_{r} p_{r} \Delta q_{r} .
\]

Следовательно, рассматривая $S$ как функцию от начальных и конечных координат, а также и от времени перехода, будем иметь:
\[
p_{r}^{\prime}=\frac{\partial S}{\partial q_{r}{ }^{\prime}}, \quad p_{r}=-\frac{\partial S}{\partial q_{r}}
\]

и
\[
H=-\frac{\partial S}{\partial \tau} \text {. }
\]

Следует заметить, что в формуле (5) и в сходной с ней формуле (3) координаты, употребленные для обозначения соответственно начальной и конечной конфигураций, не обязательно должны быть выбраны однотипными. Это видно из того, что выражение
\[
\sum_{r} p_{r} \delta q_{r}
\]

инвариантно [(7) § 102].

Если функция $S$, аналогичная функции $A$ предыдущего параграфа (§106), известна, то мы можем указать полностью результаты, вытекающие из данных начальных условий. Если даны начальные координаты $q_{r}$ и импульсы $p_{r}$, то $n$ равенств:
\[
\frac{\partial S}{\partial q_{\tau}}=-p_{r},
\]

определят значения $q_{r}{ }^{\prime}$ по истечении времени $\tau$. Тогда $n$ равенств:
\[
\frac{\partial S}{\partial q_{r}{ }^{\prime}}=p_{r}{ }^{\prime}
\]

определят соответствующие импульсы.
Относительно диференциального уравнения, которому удовлетворяет $\mathcal{S}$, см. § 110 .