Из выражения работы (1) в § 21 вытекает, что, если координаты
\[
(l, m, n, p, q, r) \text { и }\left(l^{\prime}, m^{\prime}, n^{\prime}, p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}\right)
\]

двух винтов связаны между собой соотношением
\[
l p^{\prime}+m q^{\prime}+n r^{\prime}+p l^{\prime}+q m^{\prime}+r n^{\prime}=0,
\]

то принимая один из этих винтов за динамический винт, а другой за кинематический, мы увидим, что работа сил при этом будет равна нулю.

Два винта, связанных таким соотношением, называются „взаимными“. То же соотношение, выраженное при помощи количеств, определяющих взаимное положение винтов, имеет следующий вид:
\[
\left(\tilde{\omega}+\tilde{\omega}^{\prime}\right) \cos \theta-h \sin \theta=0 .
\]

Можно видеть, что нулевые прямые, о которых говорилось в § 16 , представляют собою здесь частный случай. Это винты с нулевым параметром, взаимные с тем типом винтов, которые представляют собою динамический винт.

Полагая в равенстве (2) $\tilde{\omega}^{\prime}=0$, мы находим, что нулевые прямые относительно динамического винта, имещ е о параметр $\tilde{\omega}$, находятся на расстоянии $h$ от его центральной оси и наклонены к ней под углом, равным
\[
\operatorname{arctg} \frac{\tilde{\omega}}{h} .
\]

Следовательно, нулевые прялые на расстоянии $h$ от какойлибо точки $O$ центральной оси образуют одно семейство образующих гиперболоита вращения. Изменяя расстояние $h$, мн получаем ряд гиперболоидов с тем же центром и одной и той же осью. Наконец, перемещая точку $O$ вдоль центральной оси, мы получим весь комплекс нулевых прямых.

Если два винта пересекаются, то $h=0$ и, как показывает соотношение (2), эти винты могут быть взаимными только в том случае, когда их оси пересекаются под прямым углом или когда $\tilde{\omega}$ и $\tilde{\omega}^{\prime}$ равны и обратны по знаку. Это последнее положение включает и тот случай, когда винты параллельны; они в таком случае могут быть взаимными только при условии, если сумма их параметров равна нулю. Два винта, оси которых расположены под прямым углом, но не пересекаются, будут взаимными, если сумма параметров бесконечна.

Понятие о взаимных винтах представляет интерес с двух точек зрения. Воперзых, тело, имеющее только $n$ степеней свободы при $n<6$ можег иметь $n$ независимых винтовых перемещений. При наложении связей без трения, т. е. при условии, что работа сил связи при возможных перемещениях равна нулю, очевидно, что тело будет находиться в покое под действием сил, эквивалентных динамическому винту, взаимному с каждым из $n$ данных винтов возможного перемещения. Это положение является непосредственным следствием принципа возможных перемещений.

С другой стороны, мы можем дать более полное исследование, чем в § 10 , различных перемещений, совместимых с наложенными связями. В приведенном случае, когда имеется $n$ возможных винтовых перемещений, взаимные к ним винты будут составлять систему порядка 6 – $n$, так как координаты $\left(l^{\prime}, m^{\prime}\right.$, $n^{\prime}, p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$, в всякого взаимного винта должны будут удовлетворять $n$ уравнениям вида (1).

Так, если $n=1$, система взаимных винтов будет пятого порядка. Всякая прамая в пространстве может быть осью системы приложенных сил. Соответствующий параметр винта определяется равенством (2).

Если $n=2$, оси возможных взаимных винтов, проходящие через данную точку $P$, образуют конус. Действительно, всякая прямая, проходящая через точку $P$, пересечет цилиндроид, который изображает степени свободы перемещений тела, в трех точках, так как эта поверхность третьего порядка (§11). Если эта прямая является осью взаимного винта с параметром $\tilde{\omega}$, то ияи параметр любого винта заданной системы, с осью которого она пересекается, должен быть равен- $\tilde{\omega}$, или эти две линии должны пересекаться под прямым углом. Но только два винта на цилиндроиде могут иметь один и тот же параметр, равный-ё. Следовательно, прямая пересекает хотя бы одну из осей под прямым углом.

Искомый конус образуется, следовательно, перпендикулярами, опущенными из точки $P$ на различные образующие цилиндроида. Мы можем показать, далее, что все основания этих перпендикуляров лежат на эллипсе, и что, следо-

Фиг, 22. вательно, это – конус второго порядка. Пусть $Q$ – основание того перпендикуляра, который параллелен оси цилиндроида. Обозначим цилиндрические координаты $Q$ через ( $p_{1}, a_{1}, z$ ), а координаты основания $N$ другого перпендикуляра через $(\rho, \theta, z$ ), сохраняя оси координат $\S 11$. Декартовы координаты точки $N$ будут, следовательно,
\[
x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta, \quad z=c \sin 2 \theta,
\]
а координаты точки $Q$
\[
x_{1}=p_{1} \cos \alpha, \quad y_{1}=p_{1} \sin \alpha, \quad z_{1}=c \sin 2 \alpha .
\]

Пусть $Q^{\prime}$ и $N^{\prime}$-ортогональные проекции точек $Q$ и $N$ на плоскость $x y$. Легко видеть, что прямая $O N^{\prime}$ перпендикулярна к плоскости $P Q N$, а следовательно, и к отрезку прямон $Q^{\prime} N^{\prime}$. Отскда следует равенство
\[
p=\rho_{1} \cos (\theta-a) \text {. }
\]

Это – уравнение кругового цилиндра, ось которого параллельна $O z$ и проводит через середину отрезка $O Q^{\prime}$. Исключая $\rho$ и $\theta$, мы найдем уравнение плоскости:
\[
x \sin \alpha+y \cos \alpha=\frac{1}{2} \frac{\rho_{1}}{c}\left(z+z_{1}\right) .
\]

Геометрическое место точек $N$ есть тахим образом эллипс, по которому плоскость (6) пересекает цилиндр (5).

Когда $n=3$, система взаимных винтов тоже третьего порядка, и соотношенне между двумя системами заслуживает известного внимания. Мы видели в § 12 , что оси винтов начальной системы, имеющих заданный параметр, равнай $\tilde{\omega}$, образуют одно из семейств образующих гиперболоида. Второе семейство образовано осями взаимных винтов с параметром равным – Ф, что вытекает из равенства (2). Нетрудно видеть, что на этом гиперболоиде лежат оси всех взаимных винтов с параметром – $\tilde{\omega}$.

Когда $n=4$, взаимные винты образуют систему второго порядка. Взаимное соотношение обеих систем то же, к к и при $n=2$. Тело может иметь перемещение вдоль любого винта взаимного с некоторым цилиндроидом.

При $n=5$ имеется только один взаимный винт. Тело может перемещаться вдоль вчнта с любым направлением оси при условии, чтобы параметр винта имел соответствующее значение.