Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Уравнения (1) предыдущего параграфа не вполне удобны, когда наклон оси к вертикали остается небольшим во все время движения. Задача, однако, легко решается на основании сказанного в $\S 55$.
Пусть $x$ и $y$-проекции на горизонтальную плоскость вектора $O C$, длина которого равна единице.
Составляющие отклоняющей силы будут в таком случае равны
\[
A \ddot{x}=-C n \dot{y}+M g h x, \quad A \ddot{y}=C n \dot{x}+M g h y .
\]
Полагая $\zeta=x+i y$, получим уравнение
\[
A \ddot{\zeta}-i C n \dot{\zeta}-M g h \zeta=0,
\]
решением которого будет
\[
\zeta e^{-i p t}=H e^{i c t}+K e^{-i \sigma t},
\]
где
\[
\rho=\frac{C n}{2 A}, \quad \sigma=\frac{\sqrt{C^{2} n^{2}-4 A M g h}}{2 A},
\]
а комплексные постоянные $H$ и $K$ произвольны. Если
\[
n^{2}>\frac{4 A M g h}{C^{2}}
\]
то количество о вещественно, и траектория полюса $C$ получается в результате наложения друг на друга двух гармонических колебаний с периодами $\frac{2 \pi}{p+\sigma}$ и $\frac{2 \pi}{p-\sigma}$. Траектория является (приближенно) эпициклоидои, прямой в случае, когда $|\rho|>0$, как, например, у почти вертикального волчка.
Траектория эта может быть еще получена путем вращения вокруг начала координат эллипса с угловой скоростью $\rho$ при периоде обращения на самом эллипсе $\frac{2 \pi}{\sigma}$. Действительно, обозначая через $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ координаты относительно осей, вращающихся с угловой скоростью $p$, найдем
\[
x^{\prime}+i y^{\prime}=(x+i y) e^{-i p t}=H e^{i \sigma t}+K e^{-i \sigma t} .
\]
Выражая координаты в вещественной форме, мы получим эллиптическую орбиту относительно вращающихся осен.
Если мы изменим в предшествующих формулах знак у $h$, то польчим уравнение для \”гироскопического маятника\”. Последния состоиг из
Фиг. 48.
Фиг. 49.
тонкого стержня, могущего свободно вращаться вокруг верхнего конца, в то время как на нижнем конце имеется вращающееся маховое колесө, ось которого совпадает с осью стержня. Эпициклоиды в этом случае будут обратными.
Разнообразие формы возможных эпициклоид, разумеется, бесконечно ${ }^{1}$ ). Приведенные фиг. 48 и 49 дают изображения двух типов траекторий – „прямого“ и \”обратного“.
