Уравнения (1) предыдущего параграфа не вполне удобны, когда наклон оси к вертикали остается небольшим во все время движения. Задача, однако, легко решается на основании сказанного в $\S 55$.

Пусть $x$ и $y$-проекции на горизонтальную плоскость вектора $O C$, длина которого равна единице.
Составляющие отклоняющей силы будут в таком случае равны
\[
A \ddot{x}=-C n \dot{y}+M g h x, \quad A \ddot{y}=C n \dot{x}+M g h y .
\]

Полагая $\zeta=x+i y$, получим уравнение
\[
A \ddot{\zeta}-i C n \dot{\zeta}-M g h \zeta=0,
\]

решением которого будет
\[
\zeta e^{-i p t}=H e^{i c t}+K e^{-i \sigma t},
\]

где
\[
\rho=\frac{C n}{2 A}, \quad \sigma=\frac{\sqrt{C^{2} n^{2}-4 A M g h}}{2 A},
\]

а комплексные постоянные $H$ и $K$ произвольны. Если
\[
n^{2}>\frac{4 A M g h}{C^{2}}
\]

то количество о вещественно, и траектория полюса $C$ получается в результате наложения друг на друга двух гармонических колебаний с периодами $\frac{2 \pi}{p+\sigma}$ и $\frac{2 \pi}{p-\sigma}$. Траектория является (приближенно) эпициклоидои, прямой в случае, когда $|\rho|>0$, как, например, у почти вертикального волчка.

Траектория эта может быть еще получена путем вращения вокруг начала координат эллипса с угловой скоростью $\rho$ при периоде обращения на самом эллипсе $\frac{2 \pi}{\sigma}$. Действительно, обозначая через $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ координаты относительно осей, вращающихся с угловой скоростью $p$, найдем
\[
x^{\prime}+i y^{\prime}=(x+i y) e^{-i p t}=H e^{i \sigma t}+K e^{-i \sigma t} .
\]

Выражая координаты в вещественной форме, мы получим эллиптическую орбиту относительно вращающихся осен.

Если мы изменим в предшествующих формулах знак у $h$, то польчим уравнение для \»гироскопического маятника\». Последния состоиг из
Фиг. 48.
Фиг. 49.

тонкого стержня, могущего свободно вращаться вокруг верхнего конца, в то время как на нижнем конце имеется вращающееся маховое колесө, ось которого совпадает с осью стержня. Эпициклоиды в этом случае будут обратными.

Разнообразие формы возможных эпициклоид, разумеется, бесконечно ${ }^{1}$ ). Приведенные фиг. 48 и 49 дают изображения двух типов траекторий — „прямого“ и \»обратного“.