100. Динамическая устойчивость. В § 90 мы изложили принадлежащую Лагранжу теорию малых колебаний около положения абсолют ного равновесия, пренебрегая малыми количествами второго порядка Против нее было сделано возражение, что она не может дать вполне определенной меры устойчивости, гак как пренебрегаемые члены в процессе движения могут стать существенными. С точки зрения строгой логики возражение правильно, но так как необходимость и достаточность условия устойчивости равновесия в форме требования, чтобы потенциальная энергия в нулевой конфигурации принимала минимальное значение, подтверждена аргументацией Дирихле и Кельвина ( $\$ 86$ ), указанное возражение вряд ли имеет тут существенное значение.

Распространение на гироскопические системы аргументации названных ученых показывает, что достаточное условие устойчивости, даже если пренебречь диссипативными силами, заключается в том, чтобы величина $V+K$ или в известных случаях величина $V-T_{0}$ достигала минимума. До этого момента мы имеем совпадение с приближенной теорией, основанной на линеинных уравнениях (§99). Но по аналитической теории условие минимума уже не существенно, и мы можем иметь периодические решения, повидимому, обнаруживающие устойчивость, даже если рассматриваемая функция обращается в максимум.

Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть случай двух степеней свободы. Если пренебречь трением, то уравнения малых колебаний в главных координатах имеют вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
a_{1} \ddot{q}_{1}-\beta q_{2}+c_{1} q_{1}=0, \\
a_{2} \ddot{q}_{2}+\beta \dot{q}_{1}+c_{2} q_{2}=0,
\end{array}\right\}
\]

где $a_{1}, a_{2}$ существенно положительны. Приняв, что $q_{1}$ и $q_{2}$ изменяются пропорционально величине $e^{\lambda t}$, найдем:
\[
a_{1} a_{2} \lambda^{4}+\left(a_{1} c_{2}+a_{2} c_{1}+\beta^{2}\right) \lambda^{2}+c_{1} c_{2}=0 .
\]

Оба значения $\lambda^{2}$ будут действительными при выполнении условия
\[
\beta^{4}+2 \beta^{2}\left(a_{1} c_{2}+a_{2} c_{1}\right)+\left(a_{2} c_{1}-a_{1} c_{2}\right)^{2}>0 .
\]

Если оба значения $c_{1}, c_{2}$ положительны, то это условие выполняется, и, кроме того, оба значения $\lambda^{2}$ будут отрицательными (§99). Тогда имеем:
\[
\lambda= \pm i \sigma_{1}, \pm i \sigma_{2},
\]

где $\sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}$ – корни уравнения
\[
a_{1} a_{2} \sigma^{4}-\left(a_{1} c_{2}+a_{2} c_{1}+\beta^{2}\right) \sigma^{2}+c_{1} c_{2}=0 .
\]

Следовательно, решение состоит из простых гармонических колебаний, так что нулевая конфигурация устойчива как с аналитической точки зрения, так и в силу критерия Кельвина.

Однако очевидно, что условие (3) может быть выполнено, хотя бы $c_{1}$ или $c_{2}$ или обе величины вместе были отрицательными, если только гироскопическая постоянная $\beta$ достаточно велика. Если $c_{1}, c_{2}$ имеют противоположные знаки, то одно значение $\lambda^{2}$ положительно, а другое отрицательно. Положительный корень дает решения типа $e^{\lambda t}, e^{-\lambda t}$ и таким образом указывает на неустойчивость.
Если же оба значения $c_{1}$ и $c_{2}$ отрицательны, а значение
\[
a_{1} c_{2}+a_{2} c_{1}+\beta^{2}
\]

положительно, что, очевидно, возможно, то оба значения $\lambda^{2}$ (если они
действительны) будут отрицательными, указывая на устойчивость, хотя бы функция $V+K$ или $V-T_{0}$ имела теперь в нулевой конфигурации максимум.

Это, конечно, не находится в противоречии с критерием Кельвина̃, который учитывает и влияние диссипативных сил на, позиционные координаты. Если в наши приближенные уравнения ввести члены, зависящие от трения, то результаты будут находиться в полном согласии. Мы имеем теперь:
\[
\left.\begin{array}{l}
a_{1} \ddot{q}_{1}+c_{1} q_{1}+b_{11} \dot{q}_{1}+\left(b_{12}-\beta\right) \dot{q}_{2}=0, \\
a_{2} \ddot{q}_{2}+c_{2} q_{2}+\left(b_{21}+\beta\right) \dot{q}_{1}+b_{22} \dot{q}_{2}=0,
\end{array}\right\}
\]

где $b_{11}, b_{12}, b_{22}$ означают коэфициенты в выражении диссипативной функции
\[
2 F=b_{11} \dot{q}_{1}^{2}+2 b_{12} \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+b_{22} \dot{q}_{2}^{2} .
\]

Так как эта величина по предположению существенно положи тельна то имеем:
\[
b_{11}>0, b_{22}>0, b_{11} b_{22}-b_{12}^{2}>0,
\]

Теперь уравнение (2) заменится уравнением
\[
\begin{array}{c}
a_{1} a_{2} \lambda^{4}+\left(a_{2} b_{11}+a_{1} b_{22}\right) \lambda^{3}+\left(a_{2} c_{1}+a_{1} c_{2}+\beta^{2}+b_{11} b_{22}-b_{12}^{2}\right) \lambda^{2}+ \\
+\left(b_{11} c_{2}+b_{22} c_{1}\right) \lambda+c_{1} c_{2}=0 .
\end{array}
\]

Предположим, что корни $\lambda^{2}$, удовлетворяющие уравнению (2), действительны и отрицательны. Тогда $c_{1}$ и $c_{2}$ имеют одинаковые знаки. Далее предположим для простоты, что коэфициенты трения маль. Следовательно, корни уравнения (9) имеют вид:
\[
\lambda=\rho_{1} \pm i \sigma_{1}, \quad \rho_{2} \pm i \sigma_{2},
\]

где $\rho_{1}, \rho_{2}$ малы, а $\sigma_{1}, \sigma_{2}$ опреде.яются уравнением (b). Пренебрегая квадратами $b_{11}, b_{12}, b_{22}$, найдем:
\[
\rho_{1}+\rho_{2}=-\frac{1}{2}\left(\frac{b_{11}}{a_{1}}+\frac{b_{22}}{a_{2}}\right)
\]

и
\[
\frac{\rho_{1}}{\sigma_{1}^{2}}+\frac{\rho_{2}}{\sigma_{2}^{2}}=-\frac{1}{2}\left(\frac{b_{11}}{c_{1}}+\frac{b_{22}}{c_{2}}\right) \text {. }
\]

Следовательно, одна из двух величин $\rho_{1}$ или $\rho_{2}$ должна быть отрицательной. Отрицательными могут быть также и обе эти величины, но только в случае, когда $c_{1}$ и $c_{2}$ (всегда предполагаемые одного знака) положительны, при $c_{1}$ и $c_{2}$ отрицательных $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ должны иметь противоположные знаки. Так как
\[
\rho_{1}\left(\frac{1}{\sigma_{2}^{2}}-\frac{1}{\sigma_{1}^{2}}\right)=-\frac{1}{2 \sigma_{2}^{2}}\left(\frac{b_{11}}{a_{1}}+\frac{b_{22}}{a_{2}}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{b_{11}}{c_{1}}+\frac{b_{22}}{c_{2}}\right),
\]

то положительное значение $\rho$ будет соответствовать меньшему значению о, т. е. наиболее медленному из двух основных колебаний. Следовательно, амплитуда этого колебания будет постепенно увеличиваться, а амплитуда другого колебания будет уменьшалься ${ }^{1}$ ). В качестве иллюстрации мы можем указать на задачу, рассмотренную в § 41 .

Таким образом в случае вращающихся или циклических систем мы пришли к необходимости делать различие между устойчивостью в смысле, указанном классическим лагранжевым методом малых колебаний, когда трением пренебрегают, и устойчивостью определяемой критерием Дирихле-Кельвина. Это различие было указано впервые Кельвином, и затем его подтвердил Пуанкаре в своих исследованиях о возможных формах равновесия вращающейся жидкости, частицы которой подвержены действию взаимного притяжения. Различают соответственно два случая „обыкновенной“ или „временной“ и „практической“, „постоянной “ или „вековой устойчивости, причем последнее наименование связано с приложениями в астрономии.

Критерии „обыкновенной “стойчивости, т. е. условия, при которых корни уравнения, служащего для определения $\lambda$ имеют в общем случае чисто мнимые значения или отрицательные вещественные части, были рассмотрены Раусом ${ }^{2}$ ). Они имеют, конечно, довольно сложный характер.

Пример 1. По теории центральных сил, действующих в одной плоскости, принимая массу равной единице, имеем:
\[
2 T=r^{2}+r^{2}{ }^{2} \text {. }
\]

Если сила изменяется пропорционально величине $\frac{1}{r^{n}}$, то будем иметь:
\[
V=-\frac{\mu}{(n-1) r^{n-1}} .
\]

Полагая $r^{2} \dot{\theta}=x$, где $x$ представляет постоянный момент количеств движения относительно центра сил, мы, при обозначениях § 84, будем иметь:
\[
K=\frac{1}{2} \frac{x^{2}}{r^{2}},
\]

и, следовательно,
\[
U=V+K=\frac{1}{2} \frac{x^{2}}{r^{2}}-\frac{\mu}{(n-1) r^{n-1}}, \frac{d U}{d r}=-\frac{x^{2}}{r^{3}}+\frac{\mu}{r^{n}} .
\]

Для того чтобы орбита имела форму круга, величина $U$ должна иметь экстремум или
\[
x^{2}=\frac{\mu}{r^{n-3}} \cdot
\]

Это дает нам
\[
\frac{d^{2} U}{d r^{2}}=\frac{3 x^{2}}{r^{4}}-\frac{n \mu}{r^{n}+1}=\frac{x^{2}}{r^{4}}(3-n) .
\]
1) Предыдущее исследование лишь с изменениями в буквенных обозначениях заимствовано из курса гидродинамики автора, 2-е англ. изд. 1895.
2) В его книге об устойчивости движения (\”Stability of Motion\”). Частные случаи приведены выше в $\S 71,78$

Следовательно, $U$ имеет минимум, т. е. круговая орбита постоянно устойчива, если только
\[
n<3 \text {. }
\]

Известно, что это же условие необходимо и для „временной“ устойчивости (.Динамика“, §87).

ПРимЕР 2. Материальная точка движется по внутренней сферической поверхности чаши, вращающейся с постоянной угловой скоростью около вертикального диаметра. В этом случае равновесие точки в наиболее низком положенни обладает „обыкновенной устойчивостью, так как вращение не играет никакой роли, если чаша гладкая.

Если $a$ означает радиус, $m$-массу точки, а $\theta$-ее угловое расстояние от наиболее низкого положения, то будем иметь
\[
U=V-T_{0}=-m g a \cos \theta-\frac{1}{2} m \omega^{2} a^{2} \sin ^{2} \theta .
\]

Саедовательно
\[
\begin{array}{l}
\frac{d U}{d \theta}=m g a \sin \theta\left(1-\frac{\omega^{2} a}{g} \cos \theta\right), \\
\frac{d^{2} U}{d \theta^{2}}=m g a \cos \theta\left(1-\frac{\omega^{2} a}{g} \cos \theta\right)+m \omega^{2} a^{2} \sin ^{2} \theta .
\end{array}
\]

Прн относительном равновесии мы должны иметь $\frac{d U}{d \theta}=0$. Если $\omega^{2}>\frac{g}{a}$, то это возможно лишь в случае, когда $\theta=0$, и тогда формула (22) показывает, что $U$ имеет минимум, характеризующий постоянную устойчивость. Если $\omega^{2}>\frac{g}{a}$, то существует второе положение устойчивого равновесия, определяемое формулой
\[
\cos \theta=\frac{g}{\omega^{2} a} \cdot
\]

Формула (22) показывает, что это положение равновесия будет устойчивым, в то время как самое низкое положение теперь будет неустойчивым. В положении, определяемом формулой (23), материальная точка вращается вместе с чашей подобно грузу конического маятника.

Чтобы исследовать начальное движение точки при незначительном возмущении ее в самом низком положении, мы воспользуемся горизонтальными осями $O x, O y$, проходящими через наинизшее положение точки и вращающимися вместе с чашей. Вводя в рассмотрение силу трения, пропорциональную относительной скорости, будем иметь:
\[
\left.\begin{array}{l}
\ddot{x}-2 \omega \dot{y}-\omega^{2} x=-k \dot{x}-n^{2} x, \\
\ddot{y}+2 \omega \dot{x}-\omega^{2} y=-k \dot{y}-n^{2} y,
\end{array}\right\}
\]

где $n^{2}=\frac{g}{a}$. Эти уравнения объеднняются в одно:
\[
\ddot{\zeta}+(2 i \omega+k) \dot{\zeta}+\left(n^{2}-\omega^{2}\right) \zeta=0,
\]

где $\zeta=x+i y$. Приняв, что $\xi$ изменяется пропорционально $e^{\lambda t}$, найдем:
\[
(\Lambda+i \omega)^{2}=-n^{2}\left(1+\frac{k \lambda}{n^{2}}\right) .
\]

Если величина $k$ мала, то в качестве первого приближения получается $\lambda=-i \omega \pm i n$, и, следовательно, в дальнейшем будем иметь:
\[
\dot{\lambda}=-i(\omega \mp n)-\frac{1}{2} k\left(1 \mp \frac{\omega}{n}\right) .
\]

Если $\xi, \eta$ – прямоугольные координаты, отнесенные к не подвижны осям, проходящим через точку $O$, то полным решением будет:
\[
\xi+i \eta=\zeta e^{i \omega t}=C_{1} e^{-v_{1} t+i n t}+C_{2} e^{-v_{2} t-i n t},
\]

где
\[
v_{1}=\frac{1}{2} k\left(1-\frac{\omega}{n}\right), \quad
u_{2}=\frac{1}{2} k\left(1+\frac{\omega}{n}\right) .
\]

Если это решение представить в вещественном виде, то оно покажет, что движение складывается из двух круговых колебаний в противоположных направлениях с периодом $\frac{2 \pi}{n}$; кроме того, если $\omega^{2}>n^{2}$, т. е. $\omega^{2} a>g$, то амплитуда того кругового колебания, направление которого соответствует угловой скорости $\omega$, непрерывно увеличивается. Точка двнжется по удаляющейся от центра спиральной траектории, приближаясь к устойчивому положению относительного равновесия, определяемому формулой (23).

ПРимеР 3. Маятник, симметричный относительно своей продольной оси, при помощи универсального шарнира подвешен к вертикальной оси, вращающейся с постоянной угловой скоростью.

Эта задача уже решена при помощи метода Лагранжа в § 79, пример 4. При установившемся движении мы имеем $\dot{\theta}=0, \dot{\psi}=\omega$ и, следовательно,
\[
V-T_{0}=-M g h \cos \theta-\frac{1}{2}\left(A \sin ^{2} \theta+C \cos ^{2} \theta\right) \omega^{2},
\]

откуда
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d \theta}\left(V-T_{0}\right)=\left\{M g h-(A-C) \omega^{2} \cos \theta\right\} \sin \theta \\
\frac{d^{2}}{d \theta^{2}}\left(V-T_{0}\right)=(A-C) \omega^{2} \sin ^{2} \theta+\left\{M g h-(A-C) \omega^{2} \cos \theta\right\} \cos \theta
\end{array}
\]

Вертикальное положение, $\theta=0$, является положением-относительного равновесия, но оно будет не устойчивым, если
\[
\omega^{2}>\frac{M g h}{A-C} .
\]

Если это усяовие выполнено, то имеется второе положение относительного равновесия, определяемое равенством
\[
\cos \theta=\frac{M g h}{(A-C) \omega^{2}} .
\]

Оно устойчиво, если (как при обычной постановке опыта) $A>C$.