Перемещение твердого тела из одного заданного положения в другое может быть получено различными путями. В частности мы можем представить себе, что некоторая произвольная точка тела перемещается из своего первоначального положения в конечное $O$, причем все другие точки тела имеют простое поступательное движение и описывают прямолинейные параллельные траектории равной длины.

Далее, мы можем представить себе, что две другие произвольные точки тела, не лежащие на одной прямой с точкою $O$, приводятся в свое конечное положение путем вращения тела около точки $O$. По теореме, доказанной Эйлером, это второе перемещение равносильно простому вращению вокруг некоторой оси, проходящей через точку $O^{2}$ ).

Чтобы в этом убедиться, вообразим себе две совпадающие сферические поверхности с общим центром в точке $O$. Мы предположим, что одна из них неподвижна в пространстве, тогда как другая неизменно связана с твердым телом и, следовательно, перемещается вместе с ним. Перемещение вокруг точки $O$ может рассматриваться, как
1) Значение для практических расчетов чисто геометрической теории связей и степеней свободы движения было особенно отмечено лордом Кельвином (Томсоном). См. Thom son and T a t t, Natural philosophy, 2-е изд.; §128.
2) LeonhardEuler родился в Базеле, умер в Ленинграде в 1783 г. Указанная теорема относится в $1776 \mathrm{r}$.

скольжение одной сферической поверхности по другой, как в идеальном шаровом шарнире (сочленение Кардана).

Теоретически говоря, явление подобно движению плоской фигуры в своей плоскости ( „Статика“, §.14).

Предположим, что в результате перемещения некоторая точка подвижной сферы из положения $A$ (фиг. 1) в пространстве переместилась в точку $B$, в то время как та точка, которая раньше находилась в $B$, заняла теперь новое положение $C$. Плоскость $A B C$ пересекает неподвикную сферу по окружности (обыкновенно, но не обязательно, малого круга). Если $J$ – один из полюсов этого круга на сфере, то равнобедренные сферические треугольники $A J B$ и $B J C$ конгруэнтны. Действительно, дуги $A B$ и $B C$ равны, так как они являются двумя положениями одной и той же дуги большого круга подвижной сферы. Таким образом дуга $A B$ может быть совмещена с дугой $B C$ при помощи вращения вокруг оси $O J$ на угол равный $A J B{ }^{1}$ ).

Из этого следует, как это очевидно и само по себе, что твердое тело с одной неподвижной точкой имеет три степени свободы и, следовательно, для определения положения тела необходимы три независимые координаты. В качестве таких координат можно, например, принять: две угловые координаты той оси, поворот вокруг которой приводит тело из начального основного положения в заданное, и, наконец, самый угол этого поворота в качестве третьей. Другая система координат, более удобная для вычислений, будет описана ниже ( $\S 33$ ).